武汉理工大学-高等代数2001-2010考研真题

武汉理工大学2001年硕士研究生入学考试试题专业应用数学课程高等代数（共2页，共8大题，答题时不必抄题，标明题目序号）（考试时间3小时，满分100分，武汉理工大学数学与物理系。）一、（15分）计算下列各题：1．设A为3阶方阵，A*为伴随矩阵，|A|=81，计算|8)31(|*1AA。（5分）2．已知4阶行列式D的第3行元素分别为1，0，2，4，第4行元素对应的余子式依次是5，10，a，4，求a的值。（5分）3．设A，B均为4阶方阵，|A|=2，|B|=1，),,,(432A，),,,(432B，432,,,,均为4维列向量，计算|A+B|。（5分）二、（13分）设A=(aij)是3阶实矩阵，Aij为元素aij的代数余子式，若133aAaijij并且，求：（1）|A|；（8分）（2）方程AX=(0,0,1)’的解。（5分）三、（12分）设方程组34324241333232313232222131321211axaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax（1）证明若a1,a2,a3,a4两两不等，则此方程组无解；（4分）（2）设a1=a3=k，a2=a4=－k，（k≠0）；且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中β1=(-1，1，1)’，β2=(1，1，-1)’,试写出此方程组的通解。（8分）四、（13分）设A∈pn×n，（pn×n表示n阶方阵的全体）（1）证明C(A)={B∈pn×n|AB=BA}是pn×n的一个子空间；（5分）（2）当A=E（E为n阶单位阵）时，求C(A);(3分)（3）当A为对角阵，对角线元素aii,i=1,2,…,n均不为0时，求C(A)的维数与一组基。（5分）五、（12分）设T是p2×2上的线性映射，T定义如下：对任意2阶方阵1111,22dcbadcbaTpdcba有（1）证明：T是p2×2上的一个线性变换；（5分）（2）求T在基1000,0100,0010,000122211211EEEE下的矩阵；（5分）（3）求线性变换T的迹。（2分）六、（10分））设1111342{nnnnnnyxyyxx且x0=2,y0=1,求x100。七、（10分）设Rn×n表示全体n阶实矩阵所构成的线性空间，在Rn×n上定义一个2元实函数（·，·）：nnRBAABTrBA,,)'(),(Tr表示方阵的迹。（1）证明函数（·,·）满足内积条件，从而Rn×n构成一个欧氏空间；（5分）（2）求这个欧氏空间的一组标准正交基；（5分）八、（15分）（1）设α为非零的n维列向量，E为n阶单位阵，证明矩阵''2EH为正交矩阵；（7分）（2）设A为m×n的实矩阵，且秩A=n，证明A’A是正定矩阵。（8分）