向量与解析几何相结合专题复习

郭老师数学向量与解析几何相结合专题复习平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系【例1．】已知△ABC中，A、B两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O为坐标原点。已知||CA＝λ·||CB，||AD＝λ·||DB，OC∥CD，且直线CD的方向向量为i＝（1，2）求顶点C的坐标。【解】如图：∵||CA＝λ·||CB，∴λ＝0||||CBCA∵||AD＝λ·||DB，∴A、D、B三点共线，D在线段AB上，且λ＝0||||DBAD∴||||CBCA=||||DBAD∴CD是△ABC中∠C的角平分线。∴A、D、B三点共线OC∥CD∴O、C、D三点共线,即直线CD过原点。又∵直线CD的方向向量为i＝（1，2），∴直线CD的斜率为2∴直线CD的方程为：y＝2x（注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题）易得：点A（－4，2）关于直线y＝2x的对称点是A’（4,－2），（怎样求对称点？）∵A’（4,－2）在直线BC上∴直线BC的方程为：3x＋y－10＝0由01032yxxy得C（2，4）【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的||AD＝λ·||DB和OC∥CD转化xCBAyOD郭老师数学为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝||||CBCA=||||DBAD，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。【例2】．已知1OF＝（－3，0），2OF＝（3，0），（O为坐标原点），动点M满足：||1MF＋||2MF＝10。（1）求动点M的轨迹C；（2）若点P、O是曲线C上任意两点，且OP·OQ=0，求222OQOPPQ的值【解】（1）由||1MF＋||2MF＝10知：动点M到两定点F1和F2的距离之和为10根据椭圆的第一定义：动点M的轨迹为椭圆：1162522yx（2）∵点P、O是1162522yx上任意两点设P(sin4,cos5)，Q(sin4,cos5)（注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用）∵OP·OQ=0得：sinsin16coscos25＝0①而2PQ、22OQOP都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：222OQOPPQ＝40041【例3．】在△ABC中，A(2，3)，B(4，6)，C(3，－1)，点D满足：CA·CD＝CD·CB（1）求点D的轨迹方程；（2）求|AD|＋|BD|的最小值。xQPyO郭老师数学解：（1）设D（x，y），则CA＝（－1，4），CD＝（x－3，y＋1）CB＝（1，7）∵CA·CD＝CD·CB∴（－1）·（x－3）＋4·（y＋1）＝（x－3）·1＋（y＋1）·7整理得：2x＋3y＝0(2)易得点A关于直线2x＋3y＝0的对称点的坐标为M（－2，－3），∴|AD|＋|BD|的最小值为：|AM|＝133【注意】这里利用向量的几何意义，将问题综合为在直线2x＋3y＝0上找一点，使它到点A、B的距离之和最小，利用对称点法解决。二：将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程。【例4．】已知：过点A（0，1）且方向向量为a＝（1，k）的直线l与⊙C：1)3()2(22yx相交与M、N两点。（1）求实数k的取值范围；（2）求证：AM·AN为定值；（3）若O为坐标原点，且OM·ON＝12，求k的值。【解】∵直线l过点A（0，1）且方向向量为a＝（1，k）∴直线l的方程为：y＝kx＋1（注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率）将其代入⊙C：1)3()2(22yx，得：07)1(4)1(22xkxk①由题意：△＝07)1(4)]1(4[2kk得：374374k（注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，dR来解）（2）利用切割线定理可以证明|AM|·|AN|＝|AT|2=7,AT为切线，T为切点。根据向量的运算：AM·AN＝|AM|·|AN|·cos00＝7为定值。（注意：本题也可以设出M（11,yx）、N（22,yx）的坐标，把AM、AN用坐标表示，郭老师数学由①利用韦达定理来证明）（3）设M（11,yx），N（22,yx），则由①得：22122117144kxxkkxx∴OM·ON＝21xx＋21yy＝1)()1(21212xxkxxk＝81)1(42kkk＝12k＝1（代入①检验符合题意）【例5．】已知：O为坐标原点，点F、T、M、P1满足OF=(1,0),OT=(－1，t)，FM=MT,MP1⊥FT,TP1∥OF。（1）当t变化时，求点P1的轨迹方程；（2）若P2是轨迹上不同与P1的另一点，且垂直非零实数λ，使得1FP=λ·2FP求证：||11FP+||12FP=1【解】设P1（x，y），则由：FM=MT得M是线段FT的中点，得M)21,0(∴MP1＝（－x，21－y），又∵FT＝OT－OF＝（－2，t），TP1＝（－1－x，t－y）∵MP1⊥FT∴2x＋t(2t－y)＝0①∵TP1∥OF∴（－1－x）·0＋（t－y）·1＝0化简得：t＝y②由①、②得：xy42（注意：①这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。）（2）易知F（1，0）是抛物线xy42的焦点，由1FP=λ·2FP，郭老师数学得F、P1、P2三点共线，即直线P1P2为过焦点F的弦设P1（11,yx）、P2（22,yx）,直线P1P2的方程为：y＝k(x－1)代入xy42得：0)2(22222kxkxk则1x·2x＝1，1x＋2x＝2242kk∴||11FP+||12FP＝111x＋112x＝1)(2212121xxxxxx＝1（注意：①这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；②利用了韦达定理进行证明。）经检验：当斜率k不存在时，结论也成立。【例6．】设平面内向量a、b满足：a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，点M（x，y）满足：xa＋)4(2yb与－xa＋b互相垂直。求证平面内存在两个定点A、B，使得对满足条件的任意一点M均有||||MBMA等于定值。【证明】：由条件得[xa＋)4(2yb]·（－xa＋b），且a·b＝0从而有：0)4(2222byax，∵|a|＝2，|b|＝1∴0)4(422yx即：1422xy，故所求点的轨迹为双曲线，其焦点为)5,0(，不妨设A、B为两个焦点，根据双曲线的定义可得：对于两个定点A、B，平面内的任意一点M均有||||MBMA等于定值【例7．】已知OA＝)1,3(，（O为坐标原点），||OB=1，且OA与OB的夹角为600，A、O、B顺时针排列，点E、F满足OE=λOA，OF＝1OB，点G满足EG＝21EF（1）当λ变化时，求点G的轨迹方程；（2）求||OG的最小值。【解】∵EG＝21EF，∴点G是EF的中点，郭老师数学∴OG＝21(OE＋OF)＝21(λOA＋1OB)∵OA与OB的夹角为600，|OA|＝2，∴OA·OB＝|OA|·||OB·cos600＝1设OB＝（00,yx），则113202000yxyx1000yx或212300yx（不合，舍）OG＝)]1,0(),3[(21＝))1(21,23(设G（x，y），则)1(2123yx消去λ得：033442xyx（2）2||OG＝)214(412222yx≥41×（4＋2）＝23∴||OG的最小值为26（当λ＝21时等号成立）【例8．】如图，点F（a，0）（a0），点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，点N为动点，且PM·PF＝0，PM＋0PN（1）求点N的轨迹C；（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点K（－a，0），KA与KB的夹角为θ，求证0θ2【解】（1）设点P（0，p），M（m,0），则PM＝（m，－p），PF＝（a，－p）∵PM·PF＝0∴02pam∴apm2设N（x，y），由PM＋0PN得0),(),0(pmpyx郭老师数学∴020pymx即pyapx22消去p得：axy42（2）设AB的方程为：y＝k(x－a)，代入axy42得：0)2(222222akxkaxk，设A（11,yx）、B（22,yx），则：2212221)2(2axxkkaxxKA＝（1x＋a，1y）KB＝（2x＋a，2y）KA·KB＝2121))((yyaxax＝)4()(122121axaxxaxx·（24ax）＝222222244)2(2kaaakkaaa0KA与KB的夹角为θ，KA与KB不共线，则θ≠0∵cosθ＝||||KBKAKBKA0∴0θ2【例9．】设平面内向量a＝（x，0）、b＝（1，y），满足：(a＋3b)⊥(a－3b)（1）求点P（x，y）的轨迹方程；（2）若直线l：y＝kx＋m（km≠0）与所求曲线C交于A、B两点，D（0，－1）且||AD＝||BD,求m的取值范围。【解】（1）∵(a＋3b)⊥(a－3b)∴(a＋3b)·(a－3b)＝0∴2a－32b＝0∴0)1(322yx即1322yx为所求曲线的轨迹方程。xMPyONF郭老师数学（2）设A（11,yx）、B（22,yx），由1322yxmkxy得：0)1(36)31(222mkmxxk①则222122131)1(3316kmxxkkmxx②∵)1,(11yxAD，)1,(22yxBD∵||AD＝||BD∴2121)1(yx＝2222)1(yx即：0))(2())((21212121yyyyxxxx∴0)2(2121mkxmkxkxx把②代入，解得m＝4132k③由①得：△＝)1)(31(12362222mkmk＝12(2231km)0把③代入化简得：mm420m4或m0又∵m＝4132k41（k≠0）∴0m41或m4为所求的m的取值范围。【例10．】已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线PQ上，且HP·PM＝0，PM＝－23MQ（1）当P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程；（2）过点T（－1，0）作直线l交轨迹C与A、B两点，若在x轴上垂直一点E)0,(0x，使||AE＝||AB,且AE与AB的夹角为600，求0x的值【解】设M（x，y），由PM＝－23MQ得P（2,0y）、Q（0,3x）由HP·PM＝0得：xy42郭老师数学∵点Q在x轴正半轴上，∴x0即所求的轨迹方程为：xy42（x0）（抛物线去掉顶点）（2）设直线l：y＝k(x＋1)（k≠0），代入xy42得：0)2(22222kxkxk设A（11,yx）、B（22,yx），则142212221xxkkxx①∴线段AB的中点坐标为（kkk2,222）线段AB的垂直平分线方程为：kky12(x－222kk)②在②中，令y＝0，得1220kx③(与x轴的交点)∵||AE＝||AB,且AE与AB的夹角为600，∴△ABE为等边三角形∴点E到直线AB的距离为23|AB|而|AB|=222114kkk∴||12)1(32224kkkk解得：432k代