研究生《数值分析》试卷(带答案)

2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分)已知描述某实际问题的数学模型为xyyxyxu223),(，其中，yx,由统计方法得到，分别为4,2yx,统计方法的误差限为0.01,试求出u的误差限)(u和相对误差限)(ur.解：)(23)(6)(),()(),()(222yxyxxxyxyyyyxuxxyxuu6.016.044.001.0)412(01.0)448(0.010714566.03)()(22xyyxuur二.(6分)已知函数13)(3xxf计算函数)(xf的2阶均差]2,1,0[f,和4阶均差]4,3,2,1,0[f.解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[ffffff9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[fff0!4)(]4,3,2,1,0[)4(ff三.(6分)试确定求积公式:)]1(')0('[121)]1()0([21)(10ffffdxxf的代数精度.解：记10)(dxxfI)]1(')0('[121)]1()0([21ffffIn1)(xf时：1110dxI1]00[121]2[21nIxxf)(时：2110xdxI21]11[121]1[21nI2)(xxf时：31102dxxI31]20[121]1[21nI3)(xxf时：41103dxxI41]30[121]1[21nI4)(xxf时：51104dxxI61]40[121]1[21nI求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(10ffffdxxf具有3次代数精度.四.(12分)已知函数122)(23xxxxf定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2xxSpanx上求函数)(xf的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(x,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210xxfxxfxxf.解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100dxxxxxxdxxx32))(),(())(),(())(),((112110220dxxxxxxxx0))(),(())(),((1131221dxxxxxx52))(),((11422dxxxx解方程组1541532345203203203202210aaa得15161210aaa则)(xf的最佳平方逼近多项式为：1516)(2xxxp五.(16分)设函数)(xf满足表中条件:k012kx012)(kxf101)('kxf-20(1)填写均差计算表(标有*号处不填):kkx][kxf],[1kkxxf],,[21kkkxxxf001******110-1***22111(2)分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22kxfxNxfxLkkkk的2次Lagrange和Newton差值多项式.(3)求出一个四次插值多项式)(4xH,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22xxxxxxxL12)1)(0(1)0)(1(1)(22xxxxxxN令)2)(1()(12)(24xxxbaxxxxH则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4xxbaxxxbaxxxaxxxH)1()(xxbax由1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44bababaHbaH解得5,3ba因此1820143)2)(1()53(12)(23424xxxxxxxxxxxH六.(16分)(1).用Romberg方法计算31dxx,将计算结果填入下表(*号处不填).kkT212kS22kC32kR02.73205*********12.780242.79630******22.793062.797342.79740***32.796342.797432.797442.79744(2).试确定三点Gauss-Legender求积公式1120)()(kkkxfAdxxf的Gauss点kx与系数kA,并用三点Gauss-Legender求积公式计算积分:31dxx.解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得ytx所以积分11312dttdxx由三次Legendre多项式)35(21)(33xxxp得得Gauss点：,515,0,515210xxx再由代数精度得32535305155152111220112011210dtxAAdtxAAdtAAA即9/10022020210AAAAAAA解得,95,98,95210AAA所以三点Gauss-Legendre求积公式为：5159509851595)(11fffdxxf因此79746.2515295298515295211dxtI七.(14分)(1)证明方程02lnxx在区间(1,)有一个单根.并大致估计单根的取值范围.(2)写出Newton迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足:5110||kkxx).解：令2ln)(xxxf),1(,011)('xxxf即)(xf在区间),1(单调增又04)(,02ln)2(22eeff所以02lnxx在区间),1(有一单根),1(20exNewton迭代公式为1ln112ln1kkkkkkkkkxxxxxxxxx令20x计算得0x2||1kkxx1x3.3862941.3862942x3.1499380.2363563x3.1461940.0037444x3.1461930.000001八.(12分)用追赶法求解方程组:022112111131124321xxxx的解.解：由计算公式1,,2,,,2,,111111nicnibacbiiiiiiiii得,2,1,1,21,1,2432111125211322212b52222222cc53521133323b35333333cc37352144434b因此135152121137253125121211113112即LUA令bLy解022137253125124321yyyy得23753214321yyyy令yUx解237532113515212114321xxxx得21104321xxxx九.(12分)设求解初值问题00)(),('yxyyxfy的计算格式为:)],(),([111nnnnnnyxbfyxafhyy,假设11)(,)(nnnnyxyyxy,试确定参数ba,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为:)(3ho.（注：原题中)(2ho错误）解：)],(),([111nnnnnnyxbfyxafhyy)](')('[)(1nnnxbyxayhxy])('''21)('')('[)(')(2nnnnnxyhxhyxyhbxhayxy)('''21)('')(')()(32nnnnxbyhxbyhxybahxy对比)('''61)(''21)(')()(321nnnnnxyhxyhxhyxyxy得2/11bba，即2/1ba时该计算格式具有二阶精度.