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一、弗赖登塔尔的数学教育理论（一）“数学现实”原则弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际。在运用“现实的数学”进行教学时，必须明确认识以下几点：第一，数学教学内容来自于现实世界．把那些最能反映现代生产、现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容．第二，数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综复杂的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系。另一方面，学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去．第三，数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的不同层次的人对数学的不同水平的需求。（二）“数学化”原则弗赖登塔尔认为，数学教学必须通过数学化来进行。数学化是指人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。现实数学教育所说的数学化有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。对于前者，基本流程是：1．确定一个具体问题中包含的数学成分；2．建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系；3．通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化；4．找出蕴含其中的关系和规则；5．考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现；6．作出形式化的表述。对于后者，基本流程是：1．用数学公式表示关系；2．对有关规则作出证明；3．尝试建立和使用不同的数学模型；4．对得出的数学模型进行调整和加工；5．综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型；6．用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法；7．作一般化的处理、推广。（三）“再创造”原则弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现。学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doingmathematics)的过程，这也是目前数学教育的一个重要观点。这一过程要求通过教师精心设计，创造问题情景，让学生自己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果二、波利亚的解题理论（一）波利亚对数学教育的基本看法波利亚认为：中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考”，这种思考既是有目的的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思考。数学教育中应注重培养学生的兴趣、好奇心、毅力、情感体验等非智力品质的重要性。要成为一个好的解题者，如果“头脑不活动起来,是很难学到什么东西的,也肯定学不到更多的东西”。“学东西的最好途径是亲自去发现它”,最富有成效的学习是学生自己去“探索”、去“发现”。。（二）波利亚关于解题的研究波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，并以例题表明这张表的实际应用。书中各部分基本上是配合这张表，是对该表的进一步阐述和注释。《怎样解题》表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四个阶段。“弄清问题”是认识并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；“拟定计划”是关键环节和核心内容；“实现计划”较为容易，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置；“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来。其中，他对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他还把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。三、建构主义的数学教育理论（一）建构主义概述建构主义(constructivism)有时候也译作结构主义，理论根源可追溯到2500多年前。现代建构主义主要是吸收了杜威的经验主义和皮亚杰的结构主义与发生认识论等思想，并在总结60年代以来的各种教育改革方案的经验基础上演变和发展起来的。在教育领域中常常谈论的建构主义具有认知理论和方法论的双重身份（二）建构主义理论关于数学教育的一些基本认识1．数学知识是什么·数学知识不是对现实的纯粹客观的反映，任何一种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征，它只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说。它不是问题的最终答案，它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，出现新的解释和假设。·数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外，真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构起来的，取决于特定情况下的学习活动过程。否则，就不叫理解，而是叫死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式的学习。2．学生如何学习数学·学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。学生不是简单被动地接收信息，而是主动地建构知识的意义，这种建构是无法由他人来代替的。·学习不是被动接收信息刺激，而是主动地建构意义，是根据自己的经验背景,对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得自己的意义。外部信息本身没有什么意义，意义是学习者通过新旧知识经验间的反复的、双向的相互作用过程而建构成的。因此，学习不是象行为主义所描述的“刺激—反应”那样。·学习意义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，建构自己的理解。在这一过程中，学习者原有的知识经验因为新知识经验的进入而发生调整和改变。3．教师如何开展课堂教学与传统教学的三个假设相对应的是，建构主义指导下的课堂教学是基于如下三个基本假设：(1)教师必须建立学生理解数学的模式。教师应该建立反映每个同学建构状况的“卷宗”，以便判定每个学生建构能力的强弱；(2)教学是师生、生生之间的互动；(3)学生自己决定建构是否合理。根据上述教学目的和假设，一个数学教师在建构主义的课堂上就需要做以下六件事：(1)加强学生的自我管理和激励他们为自己的学习负责；(2)发展学生的反省思维；(3)建立学生建构数学的“卷宗”；(4)观察与参与学生尝试、辨认与选择解题途径的活动；(5)反思与回顾解题途径；(6)明确活动、学习材料的目的四、我国“双基”数学教学的成功与不足（一）“双基”——“数学基础知识”和“数学基本技能”“双基”数学教学理论的基本内容可以概括为：一个统一，两个基础，三大能力，四个结合，五个环节。1．全国统一的课程与考试制度2．打好两个基础：基础知识和基本技能3．培养三大能力：基本运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力4．提倡四个结合：⑴教师主导作用和学生的主体作用相结合；⑵抽象理论和具体实践相结合；⑶有效讲授和变式演练相结合；（4）逻辑严密和淡化形式相结合。5．课堂教学实行5个环节的模式：复习旧课→导入新课→讲授讨论→巩固练习→布置作业。（二）“双基”数学教学理论的独特认识1．运算速度；2．知识的记忆；3．适度形式化的逻辑要求；4．重复训练。（三）“双基”数学教学理论的形成1．“双基数学教学”是中国传统文化的一种传承。2．中国千余年“考试文化”下的教育评价体系，是形成“双基”数学教学理论的重要动因。（四）“双基”数学教学过程（1）“启发式”教学（2）“精讲多练”（3）“变式练习”（4）“小步走，小转弯，小坡度”的三小教学法（5）“大容量、快节奏、高密度”的复习课近年来，我国数学教学在“双基”数学教学的基础上已经有所发展。例如，开展数学思想方法的教学，倡导数学开放题的教学，提倡“研究性学习”，加强数学建模的教学，进行数学应用题的解题训练等等，这对提升中国“双基”数学教学的品位有很大帮助。但是，这些新的教学策略，应该和“双基”教学密切结合，而不应该互相对立，互不联系，各搞一套。问题与思考：1．弗赖登塔尔的数学教育的主要特征是什么？2．波利亚“怎样解题”中关于解题过程主要分哪几步？选一个典型的例子，详细介绍其解题的具体过程。中学数学教学的基本原则严谨性与量力性相结合的原则抽象与具体相结合的原则理论与实际相结合的原则巩固与发展相结合的原则严谨性与量力性相结合的原则1．严谨性与量力性（1）严谨性，是数学学科的基本特点之一。即逻辑的严谨性和结论的确定性。严谨性要求：数学概念必须严格地加以定义，即使是那些最基本、最常用而又不能按逻辑方法加以定义的原始概念，除了直观地用语言描述之外，还要求用公理加以确定；它要求数学结论的叙述必准确、精练；数学推理、论证必须合乎逻辑地进行，即使数学计算也要求无可争辩；整个数学学科体系就是一个严谨的逻辑结构。严谨性与量力性相结合的原则（2）数学教学的严谨性要求，在中学数学教学中，教师在教学内容的安排和讲授时、学生在理解、掌握、运用这些知识时，应该根据数学学科的基本特点，数学内容的叙述必须精练准确，结论的推导、论证和体系的安排要严格、周密。事实上，对于数学的严谨性，学生要有一个逐步适应的过程。它随着人们认识能力的发展而提高。严谨性与量力性相结合的原则（3）教学的量力性，就是量力而行，要求教学内容能够被学生接受。这是由青少年心理发展的阶段性所决定的。对量力性不能被动的理解，学生的可塑性是很大的，改革的潜力是有的。关键在于逐步提高要求，逐步进行训练。严谨性与量力性相结合的原则2．严谨性与量力性相结合原则的贯彻(1)明确要求，谨慎处理。(2)从开始抓起，持之以恒。(3)要求学生周密思考、言必有据抽象与具体相结合的原则1．抽象性与具体性具体性：数学尤其是初等数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象，其研究对象是十分具体的。数学为了在比较纯粹的状况下来研究空间形式和数量关系，不得不把客观对象的所有其它特征抛开不管，而只抽象出空间形式和数量关系进行研究。因此，数学具有十分抽象的形式。抽象与具体相结合的原则数学的抽象性，表现为数学概念的抽象性、数学思维的抽象性以及数学符号的抽象性，其中数学概念的抽象性是最根本的。然而，任何一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，却往往以大量的具体对象作为基础，或者以一些相对具体的抽象概念作为基础。抽象与具体相结合的原则2．抽象性与具体性相结合原则的理论基础:第一、由数学抽象的相对性与中学生抽象思维的局限性所决定第二、由教学过程与认识过程的共同性和特殊性规律所决定第三、由人的两种信号系统协同活动的规律所决定抽象与具体相结合的原则3．抽象性与具体性相结合的原则的贯彻(1)直观教学。直观教学必须注意以下几点:①进行实物直观、模型直观、图形直观教学时，要注意知识的系统性和理论的严谨性，以便把直观得到的感性认识提高到抽象的理论的水平；直观教具亮出的时机也要适当，拿出教具后要引导学生观察、分析、综合、概括、抽象，不要在细节上分散了学生的注意力，要利于他们抓住本质的数学特征。抽象与具体相结合的原则②运用言语直观教学时，要为透彻地讲授知识服务。(2)数形结合。(3)注重观察。(4)重视教学手段改革，贯彻数学概念的抽象性与具体对象直观性相结合的原则。理论与实践相结合的原则1.数学理论与实践的辩证统一数学理论的抽象性、严谨性都有实践基础，数学理论又具有广泛的应用性。这说明了数学理论既来自于实践，又反过来指导实践，在实践中接受检验和发展。这就是数学理论与实践的辩证统一。数学理论来源于实践。通过把实践中多种多样的客观事物、现象，根据需要经过分析、综合，归纳出简单而又具有普遍性的道理，从而形成抽象形式的理论，这就是“由繁到简”的认识过程。例如，二次函数y=ax2就是将许多实际的数量关系抽象概括而