全等三角形经典例题(含答案)

1新思路全等三角形的经典例题判定方法条件注意⑴边边边公理（SSS）三边对应相等三边对应相等⑵边角边公理(SAS)两边和它们的夹角对应相等（“两边夹一角”）必须是两边夹一角，不能是两边对一角⑶角边角公理(ASA)两角和它们的夹边对应相等（“两角夹一边”）不能理解为两角及任意一边⑷角角边公理(AAS)两角和其中一角的对边对应相等例1：已知：如图，过ABC的顶点A，作AF⊥AB且AF=AB，作AH⊥AC，使AH=AC，连结BH、CF，且BH与CF交于D点。求证：（1）BH=CF（2）BH⊥CF分析：从图中可观察分析，若证BH=CF，显然，若能证出ABH≌AFC，问题就能解决。从已知看，已经知道AF=AB，AC=AH。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，∠BAF和∠HAC都是直角。而图中的∠BAC显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。证明：（1）∵AF⊥AB，AH⊥AC∴∠BAF=∠HAC=90∴∠BAF+∠BAC=∠HAC+∠BAC∴即∠FAC=∠BAH在ABH和AFC中ABAFBAHFACAHAC已知已证已知∴ABH≌AFC（边角边）∴BH=FC（全等三角形对应边相等）（2）设AC与BH交于点P在APH中∵∠HAP=90∴∠2+∠3=90（直角三角形中两个锐角互余）∵∠1=∠2（全等三角形对应角相等）∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3=90在PDC中∵∠1+∠4=90∴∠HDC=90∴BH⊥CF例2：已知，如上图：BD、CE是ABC的高，分别在高上取点P与Q，使BP=AC，CQ=AB。求证：AQ=AP分析：从要证的结论AQ=AP，只有在ABP和QCA中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC、CQ=AB，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出∠1=∠2？再分析已知条件，不难看出，既然BD、CE都是高，就有∠BDA=∠CEA=90，这样就可看出∠1和∠2都是∠BAC的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2，这样问题就可以迎刃而解了。2证明：∵BD⊥AC于DCE⊥AB于E∴∠BDA=∠CEA=90∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90∴∠1=∠2在ABP和PCA中ABCQBPAC已知已证已知12∴ABP≌QCA（边角边）∴AQ=AP（全等三角形对应边相等）例3：已知：如图，OA=OB、OC=OD求证：AE=BE分析：从要证明的结论AE=EB看，我们不难看出，应当在ADE和BCE中去寻找答案，而要证明ADE≌BCE，比较明显的有一组对顶角相等，即∠AED=∠BEC，另外可以通过等式性质得到，OA－OD=OB－OC，即AD=BC，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE=BE上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出∠A=∠B（或∠ADE=∠BCE），∠A=∠B除了是ADE和BCE的对应角外，它们还是AOC和BOD的对应角，只要AOC≌BOD，那么就可以推出∠A=∠B，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下AOC和BOD全等条件够吗？证明：在AOC和BOD中OAOBOOOCOD已知公共角已知∴AOC≌BOD（边角边）∴∠A=∠B（全等三角形的对应角相等）∵OA=OB（已知）OC=OD（已知）∴AD=BC（等式性质）在ADE和BCE中ABAEDBECADBC已证对顶角相等已证∴ADE≌BCE（角角边）∴AE=BE（全等三角形对应边相等）同学们自己动手试一试，可不可通过证明∠ADE=∠BCE来证明ADE≌BCE呢？例4：已知：如图，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB和∠CBA，DC过点E。求证：AB=AD+BC分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD（或BC），利用角平分线的条件证全等。证明（一）：在AB上截AF=AD，连结EF在ADE和AFE中ADAFDAEFAEAEAE已作已知公共边3∴ADE≌AFE∴∠D=∠AFE（全等三角形对应角相等）∵AD∥BC（已知）∴∠D+∠C=180（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠D=∠AFE（已证）∴∠BFE=∠C（等角的补角相等）在BFE和BCE中BFECFBECBEBEBE已证已知公共边∴BFE≌BCE（角角边）∴BF=BC∴AB=AD+BC证明（二）：延长AE、BC交于点F。∵AE、BE分别是∠DAB和∠CBA的平分线。又∵AD∥BC∴∠1+∠2+∠3+∠4=180（两直线平等，同旁内角互补）∴∠2+∠3=90∴∠AEB=90∴∠BEF=90在ABE和FBE中3490已知公共边已证BEBEAEBBEF∴ABE≌FBE（角边角）∴AB=BFAE=EF在AED和FEC中1FAEEFAEDFEC两直线平等，内错角相等已证对顶角相等∴AED≌FEC∴AD=FC∴AB=AD+BC（等量代换）例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180。求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出ADC≌AFC，问题就可以得到解决。4证明（一）：在AE上截取AF=AD，连结FC。在AFC和ADC中AFADACAC已作已知公共边12∴AFC≌ADC（边角边）∴∠AFC=∠D（全等三角形对应角相等）∵∠B+∠D=180（已知）∴∠B=∠EFC（等角的补角相等）在CEB和CEF中BEFCCEBCEFCECE已证已知公共边90∴CEB≌CEF（角角边）∴BE=EF∵AE=AF+EF∴AE=AD+BE（等量代换）证明（二）：在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。同样也可以证明，同学们自己试一试，证明过程是怎样的，看一看，当推导过程不通时，想一想，还有哪些已知条件没有充分考虑到，或是还有哪些定理，性质用的不熟，自己找一找思维障碍是什么？小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。如例：已知：ABC中，AD是BC边上的中线。求证：ADABAC12分析：求证ADABAC12，即可变形为2ADABAC，其结构恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和，如果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB、AC相等，而另一边正好为AD的2倍，问题就迎刃而解了。证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BE。在ADC和EDB中ADDEADCEDBCDBD所作对顶角相等中线定义∴ADC≌EDB（边角边）∴AC=BE（全等三角形对应边相等）在ABE中，AEABBE（三角形中，两边之和大于第三边）∴ADABAC12