指数函数、对数函数、幂函数教案

1一、指数函数1．形如(0,0)xyaaa的函数叫做指数函数，其中自变量是x，函数定义域是R，值域是(0,)．2.指数函数(0,0)xyaaa恒经过点(0,1)．3.当1a时，函数xya单调性为在R上时增函数；当01a时，函数xya单调性是在R上是减函数．二、对数函数1．对数定义：一般地，如果a（10aa且）的b次幂等于N,即Nab，那么就称b是以a为底N的对数，记作bNalog，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，baN与logabN所表示的是,,abN三个量之间的同一个关系。2.对数的性质：（1）零和负数没有对数；（2）log10a；（3）log1aa这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。3.两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底10logN简记为lgN②自然对数：以e作底（为无理数），e=2.71828……，logeN简记为lnN．4.对数恒等式（1）logbaab；（2）logaNaN要明确,,abN在对数式与指数式中各自的含义，在指数式baN中，a是底数，b是指数，N是幂；在对数式logabN中，a是对数的底数，N是真数，b是以a为底N的对数，虽然,,abN在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求对数logaN就是求baN中的指数，也就是确定a的多少次幂等于N。2三、幂函数1．幂函数的概念：一般地，我们把形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点(1,1)；（2）当0时，幂函数在[0,)上单调递增；当0时，幂函数在(0,)上单调递减；（3）当2,2时，幂函数是偶函数；当11,1,3,3时，幂函数是奇函数．四、精典范例例1、已知f(x)=x3·(21121x)；(1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f(x)0.【解】：(1)因为2x－1≠0，即2x≠1，所以x≠0，即函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.又f(x)=x3(21121x)=1212·23xxx，f(－x)=1212·21212·2)(33xxxxxx=f(x)，所以函数f(x)是偶函数。(2)当x0时，则x30，2x1，2x－10，所以f(x)=.01212·23xxx又f(x)=f(－x),当x0时，f(x)=f(－x)0.综上述f(x)0.3例2、已知f(x)=),(1222·Rxaaxx若f(x)满足f(－x)=－f(x).(1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性。【解】：(1)函数f(x)的定义域为R，又f(x)满足f(－x)=－f(x)，所以f(－0)=－f(0)，即f(0)=0.所以0222a，解得a=1，(2)设x1x2,得02x12x2,则f(x1)－f(x2)=121212122211xxxx=)12)(12()22(22121xxxx所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以f(x)在定义域R上为增函数.例3、已知f(x)=log2(x+1)，当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时，点(23y，x)在函数y=g(x)的图象上运动。(1)写出y=g(x)的解析式；(2)求出使g(x)f(x)的x的取值范围；(3)在(2)的范围内，求y=g(x)－f(x)的最大值。【解】：(1)令tysx2,3，则x=2s,y=2t.因为点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动，所以2t=log2(3s+1)，即t=21log2(3s+1)，所以g(x)=21log2(3s+1)(2)因为g(x)f(x)所以21log2(3x+1)log2(x+1)即1001)1(132xxxx(3)最大值是log23－23例4、已知函数f(x)满足f(x2－3)=lg.622xx(1)求f(x)的表达式及其定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值.解：(1)设x2－3=t，则x2=t+3,所以f(t)=lg33lg633tttt所以f(x)=lg33xx解不等式033xx，得x－3，或x3.所以f(x)-lg33xx，定义域为(－∞，－3)∪(3，+∞).4(2)f(-x)=lg33lg33lg33xxxxxx=－f(x).(3)因为f[g(x)]=lg(x+1)，f(x)=lg33xx，所以lg)1lg(3)(3)(xxgxg，所以,13)(3)(xxgxg(01,03)(3)(xxgxg).解得g(x)=xx)2(3,所以g(3)=5