09级高等代数(下)A

第1页共6页南昌大学2010～2011学年第一学期期末考试试卷试卷编号：6013(A)卷课程编号：Z5501B001课程名称：高等代数考试形式：闭卷适用班级：09数学、信计姓名：学号：班级：学院：理学院专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分202060100得分考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题4分，共20分)得分评阅人1.若二次型3231212322213214225),,(xxxxxtxxxxxxxf是正定的，则t的取值范围是。2.设V和W分别是n元线性方程组AX=0和n元线性方程组BX=0的解空间，若矩阵A、B的秩分别是r和s，且方程组00BXAX仅有零解，则线性空间V+W的维数是。3.设是n维线性空间V上一个退化的线性变换，在某组基下的矩阵是一个若当块，则的秩为，零度为。4．若二级矩阵A的迹为2，A的行列式为4，则A的特征多项式为。5．下列条件中是“n级矩阵A相似于对角矩阵”的充分必要条件有。①A有n个互异的特征值；②A是实对称矩阵；③A有n个线性无关的特征向量；④A的初等因子全为一次的。第2页共6页二、计算(每小题10分，共20分)得分评阅人1．在复数域上求矩阵411301621A的若尔当标准形及初等因子和不变因子。第3页共6页2．给定对称矩阵A=242422221，求正交矩阵Q，使得AQQ为对角形。第4页共6页三、证明题(每小题10分，共60分)得分评阅人1．设AXXxxfn),,(1是一个实二次型，若有n实维向量21,XX使011AXX，022AXX，证明：必存在n维实向量00X，使000AXX。2．证明：如果线性空间21VVV，12111VVV，那么21211VVVV。第5页共6页3．设V是复数域上的n维线性空间，，是V的线性变换，且有=。证明：(1)如果0是的一特征值，则0V是的不变子空间；(2)，至少有一个公共的特征向量。4．证明：如果是正交变换，则的不变子空间的正交补也是的不变子空间。第6页共6页5．设是线性空间V的线性变换，证明：的行列式为零的充分必要条件是以零作为一个特征值。6．设A为实对称矩阵，证明：(1)A半正定的充分必要条件是A的特征值全大于或等于零；(2)若A半正定，则存在半正定实矩阵B，使AB2。