《比例线段》例题精讲与同步练习教案1

《比例线段》例题精讲与同步练习教案1一.知识要点：（一）比例线段1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．（二）比例的性质：(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质:或(4)合比性质:(5)等比性质:且(三)平行线分线段成比例定理1.定理:三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。这三个基本图形的用途是:1.由平行线产生比例式基本图形(1):若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2):若DE//BC，则或或或基本图形(3):若AC//BD，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。2．由比例式产生平行线段基本图形(2):若,,,,,之一成立，则DE//BC。基本图形(3):若,,,,,之一成立，则AC//DB。二.本讲内容所需要的计算与证明方法计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法。2.会利用比例式建立方程求线段的长。证明方法:会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题。三.例题例1.已知:a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28,求3a-2b+c的值。分析:题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k,转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。解:∵a:b:c=3:5:7设a=3k,b=5k,c=7k∵2a+3b-c=28∴6k+15k-7k=28，∴k=2∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12例2:若,求的值。解:设则x=3k,y=4k,z=5k∴说明:在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了。例3.如图,在□ABCD中,E为AB中点,,EF,AC相交于G,求。分析:欲求,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形。解:分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)在□ABCD中,ADBC,∵E为AB中点，∴AE=BE∵AD//BC，∴∠AFE=∠H在△AEF和△BEH中在△AEF≌△BEH(AAS)∴AF=BH∵，设AF=k,则FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K∵AD//BC，即AF//HC∴∴说明:此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M。或取AC中点N,连结EN。请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出。例4.已知:如图,D是△ABC的AB边的中点,F是BC延长线上一点,连结DF交AC于E点。求证:EA:EC=BF:CF分析:这是证明比例式的问题,根据题目条件,不能直接证出要求证的比例式,并且四条线段中EC，CF在同一个三角形中,而EA,BF不在同一个三角形中,因此需要添加适当的辅助线(平行线)来构造形成比例的基本图形(由平行得比例)。为了利用BF:CF,故可以过C点作平行线来构造基本图形。证法一:过C作CH//AB交DF于H∵CH//AB，即CH//BD∴又CH//AD，∵∵D是AB中点∴AD=BD∴∴（等比代换）即EA:EC=BF:CF证法二:过C作CM//FD交AB于M∵CM//FD∴∵CM//ED∴∵D是AB中点∴AD=BD∴∴EA:EC=BF:CF(等比代换)说明:在上面证明过程中,我们还用到了利用相等的比进行代换证明比例式的方法,这也是一种经常使用的方法。本题还可以过B点作AC的平行线或作DF的平行线的方法来证明,请同学们自己来证。总之通过作平行线得到比例是必须掌握的方法。例5.已知:如图,菱形ABCD内接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的边长。分析:有平行线就能得到比例线段,求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决,本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法,注意掌握解题的思路。解:∵菱形ABCD内接于△AEF∴AB//CD,AB=BC=CD=AD设菱形边长为x,则CD=AD=x(适当设出未知数)∵AF=5∴DF=5-x(有关的量要用含未知数的代数式表示)∵CD//AB即CD//AE∴且AE=3（得到相等关系）∴(利用比例式建立了关于x的方程)∴5x=15-3x，∴x=(解出方程)∴菱形ABCD的边长为。四.练习:1.已知,求的值。2.已知:如图,△ABC中,DE//BC。AB=8,AD=5,EC=4,求AE的长3.已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值。4.已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm，求MN的长。并思考3、4两题有何区别。5.已知:△ABC中,D是BC上一点,BD=3CD,M是AD中点,连BM延长交AC于E。求:AE:EC。6.已知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC,AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长。练习参考答案:1.2.3.4.3、4题区别:第3题中b是数,可为正也可为负;第4题中MN为线段,只能为正。5.提示:或作DN//AC交BE于N作CO//BE交AD延长线于O或或作AP//BE交CB延长线于P作AQ//BC交BE延长线于Q结论:AE:EC=3:46.DE=6(提示:用方程的思想方法)。测试选择题1．已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2cm，b=4cm，c=5cm，则d=（）（A）1cm（B）10cm（C）（D）cm2．已知：8x+3y-5z=0，且2x-3y+z=0，那么x：y：z的值是（）（A）1：2：3（B）2：3：5（C）3：3：4（D）2：2：33．如图，DE∥AC，EF∥AB，AC=14，AD：DB=3：4，则AF的长是（）（A）6（B）10（C）8（D）94．已知，如图△ABC中，AD⊥BC，E是AC的中点。那么下列比例式成立的是（）（A）AB：AC=DF：BC（A）AB：AC=EF：ED（C）AB：AC=BF：FD（D）AB：AC=AC：AD5．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于O，过O作底的平行线，分别与两腰交于E，F，则（A）OE=OF（B）OE=OF（C）OE=2OF（D）OE+OF=BD答案与解析答案：1、B2、B3、C4、C5、B解析：1、答案（B）2、答案（B）解析：∴x：y：z=(z)：(z)：z=2：3：53、答案（C）解析：∵DE∥AC∵CE：BE=AD：DB=3：4∵EF∥AB∴CF：AF=CE：BE=3：4设CF=3x，则AF=4x∵AC=14∴3x+4x=14∴x=2∴CF=6AF=84、答案（C）解析：作AG∥BC交DF于G∴BF：AB=FD：DG∵AD⊥CD，AG∥BC∴∠ADC=∠DAG=900∵E为AC的中点∴ED=EA∴∠1=∠2∵AD为公共边∴△GAD≌△CDA∴AC=DG∴BF：AB=FD：AC即：AB：AC=BF：FD5、答案：（B）解析：∵OE∥AD，∴OE：AD=BE：AB∵OF∥AD，∴OF：AD=FC：CD∵AD∥EF∥BC，∴AE：BE=DF：CF∴（AE+BE）：BE=（DF+CF）：CF即BE：AB=CF：CDOE：AD=OF：AD∴OE=OF中考解析例1.(杭州市)已知：1，，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式_________。评析：思路：运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式a:b=c:d中的任何一项即可，一题可以写出三个数，都与1、、2三数构成比例。如：1:=2:2，1:2=:2……等(只要是含1，，2三数的比例式即可，若是三数不含全的则不符合题意。例2.(上海市)已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是___________（只需填写一个数）。评析：因为此题是一个主观性质的试题，它不是求这两个数的比例中项。而是让自己写出一个数，使三个数中的某个数是另外两个数的比例中项，所以只要明白比例中项的意义，就能写出符合条件的一个数。（结论不是唯一的。）3（或-3，或12，或）例3.（河北省）已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，DF=12。求DE和EF的长。评析：思路：此题关键是求DE，∵L1∥L2∥L3，∴，由条件AB=3，BC=5，DF=12，DE得求。而EF=DF－DE。答案：解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，∴DE=.∴EF=DF-DE=12-=.例4.（北京市海淀区）如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________。评析：首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果。答案为68°，1:2。例5.（西安市）－油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口。抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为。评析：将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得Rt△ABC，其中AB=1m，AC=0.8m，BD=0.8m，DE//BC，将问题转化为求CE的长，由平行线分线段成比例定理计算即得。答案为0.64m。