函数极限与连续性知识点及典例

重庆邮电大学市级精品课程------高等数学高等数学电子教案重庆邮电大学市级精品课程------高等数学主要内容典型例题习题课第一章函数极限与连续重庆邮电大学市级精品课程------高等数学•一、基本要求–1、理解函数的概念、了解函数的性质.–2、理解数列和函数极限的定义；掌握极限的性质、存在准则，熟练应用极限运算法则求数列和函数极限。–3、了解无穷小与无穷大的定义和性质，掌握等价无穷小的运算性质。–4、掌握函数连续性和间断点，理解连续函数的性质。重庆邮电大学市级精品课程------高等数学（一）极限的概念（二）连续的概念二、主要内容重庆邮电大学市级精品课程------高等数学左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限axnnlimAxfxx)(lim0Axfx)(lim等价无穷小及其性质唯一性无穷小0)(limxf两者的关系无穷大)(limxf重庆邮电大学市级精品课程------高等数学.,,0,0axNnNn恒有时使1.极限的定义定义N定义①如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn重庆邮电大学市级精品课程------高等数学定义②设函数)(xf在点0x的某一去心邻域内有定义，对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式00xx时，对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那么常数A就叫函数时的极限当0)(xxxf,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx当或定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当重庆邮电大学市级精品课程------高等数学左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理重庆邮电大学市级精品课程------高等数学定义X.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim定义③设函数)(xf当x大于某一正数时有定义，对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数X,使得当x满足不等式Xx时，对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那么常数A就叫函数时的极限当xxf)(,记作)()()(limxAxfAxfx当或重庆邮电大学市级精品课程------高等数学:.10情形x.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当:.20情形xAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim★另两种情形:Axfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且重庆邮电大学市级精品课程------高等数学无穷小:极限为零的变量称为无穷小.).0)(lim(0)(lim0xfxfxxx或记作绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:).)(lim()(lim0xfxfxxx或记作在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2.无穷小与无穷大重庆邮电大学市级精品课程------高等数学定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质重庆邮电大学市级精品课程------高等数学定理.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(limBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设推论1).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果.)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果推论23.极限的性质重庆邮电大学市级精品课程------高等数学4.求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.重庆邮电大学市级精品课程------高等数学准则Ⅰ′如果当),(00rxUx(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.5.判定极限存在的准则准则Ⅱ单调有界数列必有极限.(夹逼准则)重庆邮电大学市级精品课程------高等数学(1)1sinlim0xxx(2)exxx)11(limexxx10)1(lim;1sinlim某过程.)1(lim1e某过程6.两个重要极限重庆邮电大学市级精品课程------高等数学);(,,0lim)1(o记作高阶的无穷小是比就说如果定义:.0,,且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果CC;~;,1lim记作是等价的无穷小与则称如果特殊地7.无穷小的比较重庆邮电大学市级精品课程------高等数学定理(等价无穷小替换定理).limlim,lim~,~则存在且设.),0,0(lim)3(无穷小阶的是是就说如果kkCCk定理若)(limxf存在,则极限唯一.8.等价无穷小的性质9.极限的唯一性重庆邮电大学市级精品课程------高等数学左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义0lim0yx)()(lim00xfxfxx连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类重庆邮电大学市级精品课程------高等数学定义1设函数)(xf在点0x的某一邻域内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx那末就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.1.连续的定义).()(lim200xfxfxx定义重庆邮电大学市级精品课程------高等数学定理.)()(00既左连续又右连续处在是函数处连续在函数xxfxxf.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf3.连续的充要条件2.单侧连续;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf重庆邮电大学市级精品课程------高等数学:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只xfxxxf4.间断点的定义重庆邮电大学市级精品课程------高等数学(1)跳跃间断点.)(),0()0(,,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf(2)可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx5.间断点的分类重庆邮电大学市级精品课程------高等数学跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:.,0右极限都存在处的左函数在点x可去型第一类间断点跳跃型0yx0x0yx0x重庆邮电大学市级精品课程------高等数学0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx0x第二类间断点.)(,,)(00类间断点的第二为函数则称点至少有一个不存在右极限处的左在点如果xfxxxf重庆邮电大学市级精品课程------高等数学.],[)(,,,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba6.闭区间的连续性7.连续性的运算性质定理.)0)(()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf重庆邮电大学市级精品课程------高等数学定理1严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理2)].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000xfafxfaufaxxxxxxx则有连续在点函数若8.初等函数的连续性.)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数xxxfyuuufyuxxxxu定理3重庆邮电大学市级精品课程------高等数学定理4基本初等函数在定义域内是连续的.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9.闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.重庆邮电大学市级精品课程------高等数学定理上连续，且那末在开区间点3(零点定理)设函数)(xf在闭区间[]ba,)(af与)(bf异号(即0)()(b.faf),()ba,内至少有函数)(xf的一个零,即至少有一点x)(bax，使0)(xf.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.重庆邮电大学市级精品课程------高等数学推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.定理4(介值定理)设函数)(xf在闭区间[]ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值Aaf)(及Bbf)(,那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间()ba,内至少有一点x，使得cfx)()(bax.重庆邮电大学市级精品课程------高等数学).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn求时当2..)sin1tan1(lim310xxxx求).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求且是多项式设1.3.典型例题重庆邮电大学市级精品课程------高等数学.1,2cos1,1)(的连续性讨论xxxxxf).()21(]1,0[),1()0(,]1,0[)(xxxffffxf使得证明必有一点且上连续在闭区间设()()().21212.lim2126543212nnnxnnxnnn提示，利用，求设6.4.5.重庆邮电大学市级精品课程------高等数学典型例题解答).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn求时当1.重庆邮电大学市级精品课程------高等数学解将分子、分母同乘以因子(1-x),则xxxxxxnn1)1()1)(1)(1)(1(lim242原式xxxxxnn1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn1)1)(1(lim22xxnn11lim12.11x.)0lim,1(12nxxn时当重庆邮电大学市级精品