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七下数学培优讲义1第讲变量之间的关系一、选择题1、（2013•南通）小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了20km；（2）小陆全程共用了1.5h；（3）小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度；（4）小李在途中停留了0.5h．其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个分析：首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得他们都行驶了20km；小陆从0.5时出发，2时到达目的地，全程共用了：2-0.5=1.5h；小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆到达目的地所用时间小于小李到达目的地所用时间，根据速度=路程÷时间可得小李的速度小于小陆的速度；小李出发0.5小时后停留了0.5小时，然后根据此信息分别对4种说法进行判断．解：（1）根据图象的纵坐标可得：他们都行驶了20km，故原说法正确；（2）根据图象可得：小陆全程共用了：2-0.5=1.5h，故原说法正确；（3）根据图象可得：小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆用1个小时到B地，小李用1.5个小时到B地，所以小李的速度小于小陆的速度，故原说法正确；（4）根据图象可得：表示小李的S-t图象从0.5时开始到1时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了1-0.5=0.5小时，故原说法正确．故选A．2、（2012•武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A.①②③B.仅有①②C.仅有①③D.仅有②③七下数学培优讲义2分析：易得乙出发时，两人相距8m，除以时间2即为甲的速度；由于出现两人距离为0的情况，那么乙的速度较快．乙100s跑完总路程500可得乙的速度，进而求得100s时两人相距的距离可得b的值，同法求得两人距离为0时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，再加上100即为c的值．解：甲的速度为：8÷2=4（米/秒）；乙的速度为：500÷100=5（米/秒）；b=5×100-4×（100+2）=92（米）；5a-4×（a+2）=0，解得a=8，c=100+92÷4=123（秒），∴正确的有①②③．故选A．3、巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（）A.45.2分钟B.48分钟C.46分钟D.33分钟分析：由图象可知校车在上坡时的速度为200米每分钟，长度为3600米；下坡时的速度为500米每分钟，长度为6000米；又因为返回时上下坡速度不变，总路程相等，根据题意列出各段所用时间相加即可得出答案解：由上图可知，上坡的路程为3600米，速度为200米每分钟；下坡时的路程为6000米，速度为6000÷（46-18-8×2）=500米每分钟；由于返回时上下坡互换，变为上坡路程为6000米，所以所用时间为30分钟；停8分钟；下坡路程为3600米，所用时间是7.2分钟；故总时间为30+8+7.2=45.2分钟．故选A．5、如图在一次越野赛跑中，当小明跑了9千米时，小强跑了5千米，此后两人匀速跑的路程S（千米）和时间t（小时）的关系如图所示，则由图上的信息可知S1的值为（）A.21千米B.29千米C.15千米D.18千米分析：根据图象设小明跑的路程S和时间t的关系式是S=at+9，设小强跑的路程S和时间t的关系式是S=kt+5，根据图象得出当t=1时s的值相等，代入求出七下数学培优讲义3a=k-4《根据图象得出小明跑了3小时的路程和小强跑2小时的路程都是S1，代入求出k，即可求出S1．解：∵小明开始跑了9千米，∴图象过（0，9），设小明跑的路程S和时间t的关系式是S=at+9，同理设小强跑的路程S和时间t的关系式是S=kt+5，∵根据图象可知，当t=1时s的值相等，∴代入得：a+9=k+5，∴a=k-4，即S=（k-4）x+9，s=kx+5，∵根据图形可知，小明跑了3小时的路程和小强跑2小时的路程都是S1，∴把t=2和t=3分别代入得：2k+5=3（k-4）+9=S1，解得：k=8，k-4=4，即S1=2k+5=2×8+5=21（千米），故选A．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．那么，小高上班时下坡的速度是（）A.千米/分B.2千米/分C.1千米/分D.13千米/分解：从图象可知：走下坡路用了12分钟-8分钟=4分钟，走的路程是4千米-2千米=2千米，即小高上班时下坡的速度是2千米4分钟七下数学培优讲义4=千米/分，故选A．二、填空题1、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是55答案：解：3=2+1；5=3+2；8=5+3；13=8+5；…可以发现：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．则第8个数为13+8=21；第9个数为21+13=34；第10个数为34+21=55．故答案为55．分析：通过对题目中给出的数据进行分析可以发现：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．如13=8+5．按照这个规律即可求出答案．2、如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x(千克)的关系，由图中可知行李的质量,只要不超过_________千克，就可以免费托运．免费托运即是y=0，所以只要利用待定系数法求出解析式，解方程即可．解：设一次函数的解析式为y=kx+b，由图象过点（30，300）和（50，900）得解之得，∴解析式为y=30x-600，当y=0时，x=20，即重量不超过20千克可免费．故本题答案为：20．三、解答题1、通过航空公司邮递物品时，通常需要交纳一定的航空运输费用．下表表示了它们之间的关系：七下数学培优讲义5(1)按照下表填空：(2)上述哪些量在变化？自变量和因变量各是什么？解：(1)根据所给表格可得：(2)上述过程，需邮递的货物价格和运输费在变化，需邮递的货物价格是自变量，运输费是因变量．说明：本题的关键是找出列表格时需要的数据，数据在条件中是自变量在某个范围内，因变量始终都为一个数的形式出现，很有创造性．2、如图7，在边长为10cm的正方形的四个角上分别剪去大小相同的四个小等腰直角三角形。当三角形的直角边由小变大时，图中阴影部分的面积随之发生变化。（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）若小等腰直角三角形的直角边长为acm，图中阴影部分的面积为scm，请你写出s与a的关系式。（3）当a由1cm增加到5cm时，图中阴影部分的面积是怎样变化的解(1)自变量:三角形的直角边a,因变量:阴影部分面积为S（2）S与a的关系式为S=100-2a²(0a5).(3)减少3、某航空公司邮递物品时，通常需要交纳一定的航空运输费用，下表表示了它们之间的关系：（1）按照上表填空：（2）上述哪些量在变化，自变量和因变量各是什么？（3）你能画出自变量和因变量关系的图象吗？解：（1）按表格填空：（2）运输费随邮递货物的价格变化而变化；邮递货物价格是自变量，运输费是因变量；（3）自变量和因变量关系图像如下图所示：七下数学培优讲义6某航空公司邮递物品时，通常需要交纳一定的航空运输费用，上表表示了它们之间的关系：需邮递的货物的价格运输费0.00～30.004.2510.01～70.005.7570.01及以上6.95（1）按照下表填空：需邮递的货物的价格154270100运输费（2）上述哪些量在变化自变量和因变量各是什么？（3）你能画出自变量和因变量关系的图象吗？解析（1）根据邮递货物的价格与运费的关系填表；（2）根据自变量与因变量的概念解答；（3）根据自变量与因变量的值画出图象．解答解：（1）按表格填空：需邮递的货物的价格154270100运输费4.255.759.796.99（2）运输费随邮递货物的价格变化而变化，邮递货物价格是自变量，运输费是因变量．（3）七下数学培优讲义74、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13…，现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造正方形，再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下矩形并标记为①、②、③、④，相应矩形的周长如下表所示：若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是___________.4664、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和、现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造如下正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如下长方形并记为①、②、③、④、…相应长方形的周长如下表所示：序号①②③④…周长610xy…仔细观察图形，上表中的x=16，y=26若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长方形周长是178解析解：由分析知：第1个长方形的周长为6=（1+2）×2；第2个长方形的周长为10=（2+3）×2；第3个长方形的周长为16=（3+5）×2；第4个长方形的周长为26=（5+8）×2；第5个长方形的周长为42=（8+13）×2；第6个长方形的周长为68=（13+21）×2；第7个长方形的周长为110=（21+34）×2；第8个长方形的周长为178=（34+55）×2．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如下正方形。再分别一次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为1、2、3、4，相应矩形的周长如表所示，若按此规律继续作矩形，则序号为10的矩形周长是()这组数的前11个数分别是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,记做{ai}第一个矩形的长b11=a1+a2,宽b12=a1,周长S1=(a1+a2+a1)X2,第二个矩形长为b21=a2+a3,宽b22=b11,周长S2=(a2+a3+a1+a2)*2归纳得到第N个矩形bn1=an+a(n+1),bn2=a(n-1)+an,Sn=(an+a(n+1)+a(n-1)+an)*2则七下数学培优讲义8S10=(55+89+55+34)*2=466考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．5、某市规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过6米3时，水费按每立方米a元收费；超过6米3时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按b元收费．该市某户今年3，4月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量（米3）水费（元）357.54927（1）求用户用水为x米3（x＞6）时的水费（用含x的代数式表示）．（2）某用户某月交水费39元，这个月该用户用水多少立方米？解：（1）∵5＜6，∴3月份用水量不超过6米3，则5a=7.5，解得：a=1.5，则根据4月份，得6×1.5+（9-6）b=27，解得：b=6，∴当x＞6时，水费为：6×1.5+6（x-6）=（6x-27）元；（2）∵6×1.5=9＜39（元），∴这个月一定超过6米3，则6×1.5+6（x-6）=39，解得：x=11．答：这个月该用户用水11立方米．6、某市为了鼓励节约用水，对自来水的收费标准作了如下规定：每月每户用水不超过10吨的部分，按0.45元/吨收费；超过10吨而不超过20吨的部分按0.80元/吨收费；超过20吨的部分按1.5元/吨收费。现已知李老师家某月缴水费14元，则李老师家