电磁学-(1)

1.在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为一百兆伏，通过的电量约为30库仑。问一次闪电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从加热到Co0?1000C解:(1)一次闪电消耗的能量1031030109×=×=−×=)(VVqWBA（焦耳）(2)设水的质量为m，1019.71001024.0103)(431012×=×××=∆=∆=−==TcWmTcmTTcmWQ（千克）2以知空气的击穿强为2106伏/米，测得某次闪电的火花长100米，求发生这次闪电两端的电位差。解：两端电位差为V2-V1，则.V2-V1=Ed=2x106x100=2x108（伏）××3.证明：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等；或者换句话说，凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。（提示：利用高斯定理和作功与路径无关的性质，分别证明沿同一电力线和沿同一等位面上两点的场强相等。）解：(1)依题意做如图所示，由高斯定理：所以：EA=EB.0=∆⋅+∆⋅−SESEBA(2)与电力线重合方向上为等位面：UB=UC所以：EB=EC.xUExUECCBB∂∂=∂∂=;xyES∆CB4.求与电电荷q=1.010-6库仑分别相距a=1.0米和b=2.0米的两点间的电势差。解：两点间的电势差：bqaqUUBAεπεπ0044−=−1054021011100110091143690×=−×××=−=−.)..(..)(baqεπ×5.一点电荷q在离它10厘米处产生的电位为100伏，求q。解：由点电荷电势公式：rqUεπ04=1001.0100.91490×××==rUqεπ求得(库仑）1009.19−×=6.求一对等量同号点电荷连线中点的场强和电位，设电荷都是q，两者之间距离2l。解：由叠加原理，点电荷的场强和电势：lqlqlqUlqlqEεπεπεπεπεπ0002020244044=+==−=7.求一对等量异号电荷连线中点的场强和电位，设电荷分别为正负q，两者之间距离为2l。解：由叠加原理，点电荷组的场强和电势：04424400202020=−+==−−=lqlqUlqlqlqEεπεπεπεπεπABOCDl2l＋q-q8.如图所示，AB=2l，OCD是以B为中心，l为半径的半圆。A点有正点电荷+q，B点有负点电荷-q。(1)把单位正电荷从O点沿OCD移到D点,电场力对它做了多少功？(2)把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远去，电场力对它做了多少功？解：两电荷在O点,D点的电势为:lqlqlqUlqlqUDεπεπεπεπεπ0000006434044−=−+×+==−++=(1)电场力的功:(2)电场力的功:lqlqUUqADOCDεπεπ00006601=−−×=−=∩)()(lqlqUUqADDεπεπ0006061=−−×−=−=∞∞)()(9.两个点电荷的电量都是q，相距为l。求中垂面上到两者连线中点为x处的电位。解：由电势叠加原理，求得：4/24/44/4220220220yxqyxqyxqU+=+++=επεπεπ10.有两个异号点电荷ne和-e(n1),相距为a。(1)证明电位为零的等位面是一个球面；(2)证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在-e点电荷的外边；(3)这球的半径为多少？（x,y)ne-e2a2a-解：依题意做如图所示，p点电势为：yaxyaxnyaxeyaxneU2222220220)2/(1)2/(:0)2/(4)2/(4+−=++=+−−++=即επεπ（n2-1)x2-（n2+1)ax+（n2-1)a2/4+（n2-1)y2=0（n2-1)(x2-2ax+a2/4+y2)=0（n2-1)(x2-2ax+a2-3a2/4+y2)=0(x-a)2+y2=3a2/4圆心在（a,0)半径.a2311.求电偶极子p=ql电位的直角坐标表达式,并用梯度求出场强的直角分量表达式.θpz解:偶子电势zyxrrpU222204++==其中,cosεπθ而zyxzrz222++==θcos)()()(...zyxyxzpzUEzyxyzpyUEzyxxzpxUExyx2222432224322243522220520520++−−•=∂∂−=++•=∂∂−=++•=∂∂−=επεπεπ故梯度分量：zyxzpU22204++•=∴επ12.证明本章第二节习题8附图中电四极子在它的轴线沿长线上的电位为式中Q=2ql2叫做它的电四极距。利用梯度验证，所得场强公式与该题一致。r30Q41Uεπ=)(lr≥解：rQrUE4043επ=∂∂−=)(lr≥q-2q+qpr13.一电四极子如图所示.试证明:当rl时,它在P(r,)点产生的电位为)(cossinlrrlqU−=30243επθθ图中极轴通过正方形中点O点,且与一对边平行.极轴lllθ+q+q-q-qP(r,)θrO证明:电偶子电子电势rqlUεπθ04cos=一个电偶极电势)cos()cos(cos242420101θεππθεπθlrqlrqlU−+==)cos()cos(cos242420202θεπθπεπθlrqlrqlU+−==另一个电偶极电势UUU21+=∴rlqlrrrlrqlrlrrlrqllrlrql30222242022022043244224επθθθθθθθεπθθθθεπθθθθεπcossincoscossin)sin(coscossincossin)cos(sin)cos(sin−=−−−•=−+−−≈++−−=14.求本章第二习题12中均匀带电圆环轴线上的电位分布，并画U—x曲线。解：在圆环上l__l+dl的带电常量dq=dl它在中心轴上电势为：整个圆环电势为：λxR4dqr4dqdU2200+επ=επ=xR4qxR4dqU220q0220+επ=∫+επ=15.求本章第二节习题13中均匀带电圆面轴线上的电位分布，并画U—x曲线。解：在圆盘上r—r+dr取一圆环，带电量dq=rdrdsπσσ2⋅=⋅它在中心轴的电势：xrrdrxrrrdrxrdqdU2202202204424+⋅=+⋅=+=επσεππσεπ整个圆盘的电势为：).(222000220xxrxrrdrdUUkk−+∫∫=+==εσεσ16.求本章第三节习题3中同心球在三个区域内的电位分布.解:电场分布为:E={RrrQQRrRrQRr22021212011440+επεπ由电势分布公式:求得电势分步:∫=∞rEdrUrR1:R1rR2:rR2:∫+=+∫+∫∫+==∞∞222110202121201141440RRRrRrIRQRQdrrQQdrrQdrEdrU)(επεπεπ∫+=+∫+=∞22210202122014144RRrRQrQdrrQQdrrQU)(επεπεπ∫+=+=∞rIrQQdrrQQUεπεπ02120214417.在上题中，保持内球上电量Q1不变，当外球电量改变时，试讨论三个区域内的电位有何变化？两球面间的电位差有何变化？解：Q2rQQURQrQURQRQUεπεπεπ0213221022211014),(41),(41+=+=+=看出：各点电势均与有关。故改变时，0,电势随增加而增加；当0，结论相反。两球的电势差：∫−==∆kkRRQdrrQU21)1(442101021επεπ不变。Q2Q2Q2Q218.求本章第三节习题2中均匀带电球体的电位分布.解:由电位的定义式求得电位分布rR时,∫=∞rldEURrRqRrRqdrrqdrRqrdrEUrrr30223202030833844επεπεπεπ)()(−=−=∫+∫=∫=∞∞∞rqdrrqdrEUrrεπεπ02044=∫=∫=∞∞rR时,19.金原子核可当作均匀带电球，其半径约为6.91015−×米，电荷为1026.1106.179Ze1719−−×=××=库。求它表面上的电位。解：金原子核表面的电位：1061.1109.61026.1100.9k4qU7151790×=×××=επ=−−（伏）20.(1)一质子(电荷为e=1.6010-19库,质量为1.6710-27千克)以1.2107米/秒的速度从很远的地方射向金原子核,求它能达到金原子核的最近距离;(2)粒子的电荷为2e,质量为6.710-27千克,以1.6107米/秒的速度从很远的地方射向金原子核,求它能达到金原子核的最近距离.×××××α解:质子与金原子核最近间距为r1,此处电势rqeU190100942××==.επ质子势能:reqeuw104επ==由质子的动能转化的电势能:eu=0.5mv2,vmreq210214=επ)(.).(...米1051110721106711060110261242132271917201−−−−×=×××××××==vmqerεπ粒子与金原子核最近间距为r2,同理求得)(.米10244214202−×==vmqerεπα21.在氢原子中，正常状态下电子到质子的距离为5.2910-11米，已知氢原子核（质子）和电子带电各为正负e（e=1.6010-19库）。把氢原子中的电子从正常状态下离核的距离拉开到无穷远处所须的能量，叫做氢原子的电离能。求此电离能是多少电子伏和多少焦耳？解：电子正能状态下（a0=5.2910-11).该处电势：)(2.271029.5106.1100.9a4eU1119900伏=××××=επ=−−)(2.272.271eUAW伏=×==−=电量能：×××22.轻原子核（如氢及其同位素氘，氚的原子核）结合成为较重原子核的过程，叫做核聚变。核聚变过程可释放大量能量。例如，四个氢原子核结合成一个氦原子核时，可以释放出28MeV的能量。这类核聚变就是太阳发光发热的能量来源。实现核聚变的困难在于原子核都带正电，互相排斥，在一般情况下不能互相靠近而发生结合。只有在温度非常高时热运动的速度非常大，才能冲破库仑排斥力的壁垒，碰到一起发生结合，这叫做热核反应。根据统计物理学，绝对温度为T时，粒子的平均动能为mv2/2=3kT/2式中k=1.3810-23焦耳/开叫做玻耳兹曼常数。已知质子质量M=1.6710-27千克，电荷e=1.610-19库，半径的数量级为10-15米。试计算：(1)一个质子以怎样的动能（以eV表示）才能从很远的地方达到与另一个质子接触的距离？(2)平均热运动动能达到此值时，温度（以开表示）需位多少？×××解：（1）质子表面电势：re41U0επ=另一质子达到这一质子表面的电势能：)J(1041.1e100.910106.1eer4er4eeUW691519002××=×××⋅=⋅επ=επ==−−即质子具有1041.16×电子伏的动能才能接近另一质子。（2）因101038.15.1106.11041.1k23vm21TkT23vm21102319622=×××××===−−，求得温度：（开）23.在绝对温度T时，微观粒子热运动能量具有kT的数量级（玻耳兹曼常数k=1.3810-23焦耳/开）。有时人们把能量kT折合成电子伏，就是说温度T为若干电子伏。问：（1）T=1eV相当于多少开？（2）T=50keV相当于多少开？（3）室温（T300开）相当于多少eV？解：电子伏）（开）（开）即(..)(...)(...,)(10623001038131085103811061105021016110381106111122382319342319−−−−−−×=××=×=××××==×=××===kTkeVTkeVTeVkT24.电量q均匀地分布在长为2l的细直线上,求下列各处的电位U:(1)中垂面上离带电线段中心O为r处，并利用梯度求Er;(2)延长线上离中心O为z处,并利用梯度求Ez;(3)通过一端的垂面上离该端点为r处，并利用梯度求Er;解：（1）依题意作坐标系如图所示：dy带电量dq=dy，它在x处的电势：λyxdy4yxdq41dU220