食谱设计与优化问题

食谱设计与优化问题设计总说明（摘要）每个人都希望一日三餐的食物能够既有营养又价格合理。所以我们在分析食物的营养成分，选择不同食物的组合作为食谱的一般想法是，以最小的费用来满足对基本营养的需求。所以我们必须从营养学家那里知道什么才是基本营养要素需求（可能因人而异）。另外，我们在选择食物的时候，为了保持食物种类的多样性避免对单一营养食物的厌倦，生活中我们应该考虑一个很长的可供选择食物的名单。根据营养学家的建议，一个人每天对蛋白质、维生素A、钙和碳水化合物的需求如下，50g蛋白质，4000IU（国际单位）维生素A、1000mg钙和1050g碳水化合物。现在提供苹果，香蕉，红枣，鸡蛋和胡萝卜5种日常食物的营养成分表，我们便可通过线型规划建立模型并用计算机求解出我们对营养的摄取最佳的饮食搭配数量和最少的花费，设计出最优的食谱搭配方案。关键词：运筹学，线性规划，基本营养需求，最少花费，合理搭配目录1问题：食物设计与优化问题-------------错误!未定义书签。1.1绪论··················31.1.1研究的背景··················31.1.2研究的主要内容与目的·············31.1.3研究的意义··················31.1.4研究的主要方法和思路·············31.2理论方法的选择·············41.2.1所研究问题的特点···············41.2.2拟采用的运筹学理论方法的特点·········41.3模型的建立···············41.3.1基础数据的建立···············41.3.2变量的设定·················51.3.3目标函数的建立···············51.3.4限制条件的确定···············51.3.5模型的建立·················51.4模型的求解及解的分析··········51.4.1模型的求解·················61.4.2模型的分析与评价··············71.5结论与建议·······错误!未定义书签。1.5.1研究结论··················81.5.2建议与对策·················82参考文献--------------------------------------------83致谢-----------------------------------------------154附录-----------------------------------------------111问题：食谱设计与优化问题1.1绪论1.1.1研究的背景健康问题已经成为当前人们最关心的问题之一，在当今普遍具有健康意识的时代，每个人都希望每天能够有合理的饮食习惯，希望所吃的食物能够既不单调，而且还要充满营养，价格合理。所以我们在分析食物的营养成分，选择不同食物的组合作为食谱的一般想法是，以最小的费用来满足对基本营养的需求。所以我们必须从营养学家那里知道什么才是基本营养需求（可能因人而异）。另外，我们在选择食物的时候，为了保持食物种类的多样性避免对单一营养食物的厌倦，生活中我们应该考虑一个很长的可供选择食物的名单。按营养学家的建议，一个人一天对蛋白质、各类维生素、钙，铁，锌等微量元素和碳水化合物等等各种身体必需营养物质的需求都有一定的需求量。我们需要考虑我们每天所吃食物营养的构成，如何搭配生活中的食物数量而使我们每天所需求的营养数达到健康的需求标准，而且所需要的花费是最少的呢，这便是一个值得我们去研究的问题，这种研究对我们自身的健康有着重要的作用。1.1.2研究的主要内容与目的现在有资料表明一个人一天对蛋白质、维生素A、钙和碳水化合物的需求如下，50g蛋白质，4000IU（国际单位）维生素A、1000mg钙和1050g碳水化合物。现在提供4种食物构成的食谱：生的带皮苹果、香蕉、生的胡萝卜。切碎的去核的枣和新鲜的生鸡蛋。并且我们已知这4种食物中蛋白质，维生素A，钙和水化合物的含量。如何对以上5种食物进行搭配，确定每种食物的用量，以最小费用满足推荐的每日定额，从而达到最佳的食谱优化。1.1.3研究的意义能够使我们对每天生活中所需求的最少量营养成分得到满足，让我们每天都能合理饮食，从而保持身体的营养和健康。同时也可以让我们利用最少的花费从而得到最佳的饮食搭配，既有营养又便宜。1.1.4研究的主要方法和思路研究的主要方法：利用线性规划理论解决实际问题，所谓线性规划，是求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。常见的问题在：物资调运问题、产品安排问题、下料问题。思路：利用所搜集的数据建立模型，写出目标函数和线性约束条件，再利用计算机软件LINDO求解。1.2理论方法的选择1.2.1所研究问题的特点1．这一个问题是一组非负的未知变量构成的；2．有一个欲求的目标，这个目标是一组未知变量的线性函数，要求实现目标问题的最小值（MIN），而且未知变量为非负数；3．存在一定的约束限制条件，该约束限制条件是由一组线性不等式组成的；4．题目中可以提出隐含假设条件。1.2.2拟采用的运筹学理论方法的特点线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.本题目采用的是第二种：对生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，如何能够使经济效果达到最好。1.2.3理论方法的适用性及有效性论证最近50多年来，线性规划无论是在深度还是在广度方面都取得了巨大进展。例如，椭球方法、Karmarkar方法和内点法等。随着计算机技术日新月异不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能够迅速的求解，更为线性规划在经济等各个领域的广泛应用提供了极其有利的条件。在经济管理和实际问题中大量的问题是线性的，有的可以转化成线性的，从而是线性规划有了极大的应用价值。线性规划已经成为现代化管理的一个重要手段。仔细分析发现问题的实质是线性规划问题，解决此问题的关键就是找到问题中隐含的约束条件，即满足每天的基本营养需求。另外，模型的求解是有关一个最优解的问题，找出问题的目标函数，即在满足基本营养需求的前提下，使花费在食物上的费用最小。并利用线型规划来进行数学建模。而在解决该食谱搭配问题的同时也需要一定的模型假设。为了讨论问题方便，对问题进行一些简化，我们应该做出如下假设：（1）假定食物都是新鲜而且营养成分充足的，避免了同一种食物之间营养含量的差别。（2）对营养的需求可以适量过剩，而不可以不足。（3）根据实际情况，变量的求解尽量取整数。1.3模型的建立1.3.1基础数据的建立一个人一天对蛋白质、维生素A、钙和碳水化合物的需求如下，50g蛋白质，4000IU（国际单位）维生素A、1000mg钙和1050g碳水化合物。5种食物的营养成分表如下：食物单位蛋白质/g维生素A/IU钙/mg碳水化合物/g价格/元苹果中等大小一个（138g）0.37309.618.61香蕉中等大小一个（118g）1.29600.5261.5红枣一盒（178g）3.5890571036鸡蛋中等大小一个（44g）5.527922069.8胡萝卜中等大小一个（72g）0.72025190.81.51.3.2变量的设定设变量x1，x2，x3，x4，x5均为决策变量。其中：x1为苹果每天的需求个数；x2为香蕉每天的需求个数；x3为红枣每天的需求盒数；x4为鸡蛋每天的需求个数；x5为胡萝卜每天的需求个数。1.3.3目标函数的建立我们设每日对五种食物的需求个数分别为X1,X2,X3,X4,X5，并且5种食物的价格也为已知，所以确定目标函数：minZ=1X1+1.5X2+6X3+9.8X4+1.5X51.3.4限制条件的确定由于4种营养要素的日需求最小量给出，同时5种食物的需求量必定为非负数，得目标函数的约束条为：0.3x1+1.2x2+3.5x3+5.5x4+0.7x5≥50730x1+960x2+890x3+279x4+2025x5≥40009.6x1+0.5x2+57x3+220x4+19x5≥100018.6x1+26x2+103x3+6x4+0.8x5≥1050X10X20X30X40X501.3.5模型的建立根据目标函数和限制条件，建立模型为：MinZ=1x1+1.5x2+6x3+9.8x4+1.5x50.3x1+1.2x2+3.5x3+5.5x4+0.7x5≥50730x1+960x2+890x3+279x4+2025x5≥40009.6x1+0.5x2+57x3+220x4+19x5≥100018.6x1+26x2+103x3+6x4+0.8x5≥1050X10X20X30X40X501.4模型的求解及解的分析ST1.4.1模型的求解LPOPTIMUMFOUNDATSTEP4OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)83.11451VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000000.230713X26.2210340.000000X38.4879630.000000X42.3321620.000000X50.0000000.446440ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.000000-0.9012323)10177.1523440.0000004)0.000000-0.0215875)0.000000-0.0156826)0.0000000.0000007)6.2210340.0000008)8.4879630.0000009)2.3321620.00000010)0.0000000.000000NO.ITERATIONS=4RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX11.000000INFINITY0.230713X21.5000000.5029130.480299X36.0000000.7593820.878775X49.8000003.4445616.788061X51.500000INFINITY0.446440RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000021.7356134.08078734000.00000010177.152344INFINITY41000.000000166.956909915.04052751050.000000199.507111475.64593560.0000000.000000INFINITY70.0000006.221034INFINITY80.0000008.487963INFINITY90.0000002.332162INFINITY100.0000000.000000INFINITY最优解为：83.11451x1=0.000000x2=6.221034x3=8.487963x4=2.332162x5=0.0000001.4.2模型的分析与评价规划的最优解为83.11451元，所表示的含义就是为