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第1页共10页第一章因数和倍数1.整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。整数与自然数的关系：整数包括自然数。2.因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。例：12是6的倍数，6是12的因数。（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的不能单独存在。（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的因数的求法：成对地按顺序找。（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。（4）2、3、5的倍数特征1）个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。2）一个数各位．．上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。3）个位上是0或5的数，是5的倍数。4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。3.完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等4.自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。最小的奇数是1，最小的偶数是0.关系：奇数+偶数=奇数奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数。奇数-偶数=奇数奇数-奇数=偶数偶数-偶数=偶数5.自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。0：最小的自然数最小的偶数是最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数6.最大、最小一个数的最小因数是：1；最小的奇数是：1；一个数的最大因数是：A；最小的偶数是：0；一个数的最小倍数是：A；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；7.分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法．．．分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）8.互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和8两数互质的特殊情况：⑴1和任何非0自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个不同的质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；9.公因数、最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来）几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的那个数就是它的最小公倍数。如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。10.公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。11.求最大公因数和最小公倍数方法用12和16来举例方法一：（列举求同法）最大公因数的求法：12的因数有：1、12、2、6、3、416的因数有：1、16、2、8、4最大公因数是4最小公倍数的求法：12的倍数有：12、24、36、48、…16的倍数有：16、32、48、…最小公倍数是48方法二：（分解质因数法）12=2×2×316=2×2×2×2最大公因数是：2×2=4（相同乘）最小公倍数是：2×2×3×2×2=48（相同乘×不同乘）同步练习一.认真思考，对号入座(1)在26、12和13这三个数中，()是()的倍数，()是()的因数，()和()是互质数。(2)一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数字是0，这个数写作()。(3)根据要求写出三组互质数。两个数都是质数()和()。两个数都是合数()和()。两个数中一个数是质数，一个数是合数()。(4)一个数的最大因数是36，这个数是()，它的所有因数有()，这个数的最小倍数是()。第2页共10页(5)a=2×3×5，b=2×5×11，a和b的最大公因数是()，a和b的最小公倍数是()。A=2B,A是（）,（）的（），2和（）是（）的（）.(6)把210分解质因数:45=()。(7)甲数除以乙数的商是15，甲乙两数的最大公因数是()，最小公倍数是()。(8)一个两位数同时能被2、5、3整除，这个两位数最大是()，最小是()。(9)把下面的合数写成两个质数和的形式。15=()+()20=()+()=()+()(10)如果2□4能被3整除，那么□里最小能填()，最大能填()。(11)8和9的最大公因数是()，最小公倍数是()。二.仔细推敲、辨析正误(1)18÷9=2，我们就说18是倍数，9是因数。()(2)一个数的倍数一定比它的因数大。()(3)因为11和13是互质数，所以说11和13没有公因数。()(4)所有非零自然数的公因数是1。()(5)所有的偶数都是合数。()(6)两个奇数的和一定能被2整除。()(7)所有的奇数都是质数。（）（8）所有的质数都是奇数（）（9）自然数除了偶数，就是奇数。（）（10）一个非0自然数至少有两个因数，无数个倍数。（）三.反复比较、慎挑细选(1)一个质数的因数有()个。①1②2③3(2)24是4和6的()。①公因数②公倍数③最小公倍数(3)在100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是()。①95②90③75(4)从323中至少减去()才能被3整除。①减去3②减去2③减去1(5)20的质因数有()个。①1②2③3(6)下面的式子，()是分解质因数。①54=2×3×9②42=2×3×7③15=3×5×1四.找出下列数中的合数，并把它们分解质因数。2029455391102求下面各组数的最大公因数。50和7578和266和1136、54和6.求下面各组数的最小公倍数。15和2035和4224和3660和75二分数的意义和性质1.分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。2.单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）3.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如54的分数单位是51。4.分数与除法A÷B=BA（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0）例如：4÷5=545.真分数和假分数、带分数1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。2、假分数：分子大于或等于分母的分数叫假分数。假分数≧13、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1。6.真分数＜1≤假分数真分数＜1＜带分数7.假分数与整数、带分数的互化（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子，如：510=10÷5=2521=21÷5=451（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子如：2=48）（2×4=8（8作分子）（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：551=526）（5×5+1=26（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：1=22=33=44=55=…=100100=…8.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。9.最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。10.约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。如：3024=5411.通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：52和41可以化成208和20512.分数和小数的互化（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……如：0.3=1030.03=10030.003=10003（2）分数化为小数：方法一：把分数化为分母是10、100、1000……如：103=0.353=106=0.641=10025=0.25方法二：用分子÷分母如：43=3÷4=0.75（3）带分数化为小数：第3页共10页先把整数后的分数化为小数，再加上整数如：2103=2+0.3=2.313.比分数的大小：分母相同，分子大，分数就大；分子相同，分母小的，分数大。分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。14.分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。21=0.541=0.2543=0.7551=0.252=0.453=0.654=0.881=0.12583=0.37585=0.62587=0.875201=0.05251=0.04。15.两个数互质的特殊判断方法：①1和任何大于1的自然数互质。②2和任何奇数都是互质数。③相邻的两个自然数是互质数。④相邻的两个奇数互质。⑤不相同的两个质数互质。⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。16.求最大公因数的方法：①倍数关系：最大公因数就是较小数。②互质关系：最大公因数就是1③一般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。17.分数知识小结：（1）分数的意义：把单位“1”平均分为几份表示其中的一份或几份。（如：把一根绳子平均分为5份，其中的一份就是五分之一，两份就是五分之二。）（2）分数与除法：分子（被除数），分母（除数），分数值（商）。（4）带分数：由整数和真分数组成，带分数一定是假分数。（5）假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分，余数作分子）（6）分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不变。（7）最简分数分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数）（8）通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数的过程，叫做通分。通分的方法：1.先求出原来几个分数的分母的最简公分母；2.根据分数的基本性质，把原来分数化成以最简公分母为分母的分数。【约分】是对一个分数而言的，求出分子分母的最大公约数，然后分子分母【同除】这个最大公约数，约简得到相等的新分数，这个新分数，这个最简分数分子分母必须是互质。同步练习一、填空。（1）的表示把单位“1”平均分成（）份，取其中的（）（2把全班同学平均分成5个小组，2个小组占全班人数的（）。这里的单位“1”是（）。（3）把3m长的绳子平均分成5段，每段占全长的（）,每段是（）米。全长的25是（）米。（4）女职工人数占全厂人数的，男职工占全厂人数的（），男职工占女职工的（）。（5）的分数单位是（），再加上（）个这样的分数单位就是1。（6）6个是（），（）个19是89,差（）个这样的单位就是1.（7）（）个是1，1里面有（）个。（8）读作（），它由（）个组成。二、判断。（1）分数单位是的分