含参数的线性规划与非线性规划问题(含解析)高三数学备考冲刺

问题11含参数的线性规划与非线性规划问题性一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三、知识拓展常见代数式的几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,x－a2＋y－b2表示点(x,y)与点(a,b)的距离；②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率．四、题型分析类型一目标函数中含参数若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．1．目标函数中x的系数为参数【例1】x，y满足约束条件，若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为_______________.【答案】2或1【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线yax，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线yax的斜率，要与直线或的斜率相等，∴2a或1．【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系．通过本题应进一步明确两点：（1）线性规划问题可能没有最优解；（2）当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．【牛刀小试】已知,xy满足约束条件020xyxyy，若zaxy的最大值为4，则a___________.【答案】2【解析】将zaxy化为zaxy，作出可行域（如图所示），当0a时，当直线zaxy向右下方平移时，直线zaxy在y轴上的截距z减少，当直线zaxy过原点时，0maxz（舍）；当0a时，当直线zaxy向右上方平移时，直线zaxy在y轴上的截距z增大，若01a，即10a时，当直线zaxy过点)1,1(B时，，解得3a（舍），当1a，即1a时，则当直线zaxy过点)0,2(A时，，解得2a．【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率a的符号，还要讨论斜率a与边界直线斜率1的大小关系.2．目标函数中y的系数为参数【例2】已知变量,xy满足约束条件若目标函数的最大值为1，则a．【答案】3．【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B（4，1）点是取得最大值，∴141a，∴3a．【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值．3．目标函数中,xy的系数均含参数【例3】设x，y满足约束条件221xxyyx，若目标函数的最小值为2，则ab的最大值为．【答案】41．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，易求得，要目标函数的最小值为2，∴222ba，即1ba，∴，当且仅当21ba等号成立．故ab的最大值为41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可．【牛刀小试】设xy，满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则ba32的最小值为______________.【答案】625【解析】作出xy，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点4,6A取得最大值12，即，亦即236ab，所以＝，当且仅当baab，即65ab时等号成立．【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知axbym﹙﹚求的最小值，通常转化为cdxy＝1()cdmxy（axby)，展开后利用基本不等式求解．4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组01,0,4xxyyx表示的平面区域为D．若圆0r不经过区域D上的点，则r的取值范围是_______________．【答案】【解析】不等式对应的区域为ABE．圆心为(1,1)，区域中A到圆心的距离最小，B到圆心的距离最大，∴要使圆不经过区域D，则有0rAC或rBC．由1xyx得11xy，即(1,1)A．由14xyx，得13xy，即(1,3)B．∴22AC，25BC，∴022r或25r，即r的取值范围是．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：，可看成可行域内的点,Pxy与定点,Qab两点连线的距离的平方，即；也可看成是以,Qab为圆心，z为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题．【牛刀小试】设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是___________.【答案】[2，9]【解析】平面区域M如图所示，求得，由图可知，欲满足条件必有且图象在过B、C两点的图象之间，当图象过B点时，，当图象过C点时，，所以，故的取值范围是．【评注】巧妙地识别目标函数的几何意义是研究此类问题的基础，纵观目标函数包括线性与非线性、非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得线性规划问题得以深化，本题的解答中正确理解目标函数表示指数函数的图象与二元一次不等式组表示的平面区域有公共点这一意义是解得本题的关键。类型二约束条件中含参数由于约束条件中存在参数，∴可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值．【例5】已知,xy满足2yxxyxa，若3zxy的最大值为M，最小值为m，且0Mm，则实数a的值为_____________．【答案】1【解析】试题分析:画出不等式组2yxxyxa表示的区域如图,结合图形可以看出当动直线zxy3经过点),(aaA和)1,1(B时,yxz3分别取最小值am4和最大值4m,由题设可得044a,所以1a,故应填答案1.【点评】约束条件中含有参数时：（1）要对可行域的各种可能情况作出判断，特别注意特殊的线与点；（2）依据可行域的面积或目标函数的最值准确确定可行域；（3）求出参数．【牛刀小试】已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为.【答案】1【解析】试题分析：由图得（舍）．类型三目标函数及约束条件中均含参数【例6】设,1m在约束条件1yxmxyxy下，目标函数myxz的最大值大于2，则m的取值范围为_____________.【答案】,21【解析】把目标函数转化为，表示是斜率为m1，截距为mz的平行直线系，当截距最大时，z最大，当过点时，截距最大，解之得21m．【牛刀小试】设x，y满足约束条件,1,xyaxy且zxay的最小值为7，则a_____________.【答案】3【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：，又由题中zxay可知，当0a时，z有最小值：，则，解得：3a；当0a时，z无最小值．故选B五、迁移运用ABC1,【2019年3月2019届高三第一次全国大联考（江苏卷)】已知点满足不等式，设，则的最小值与最大值之和等于________．【答案】【解析】作出不等式所表示的平面区域，如图中阴影部分（含边界），则点为正方形及其内部的动点．由题意得的几何意义为动点到定点距离的平方．过作于，由图知为的中点，而点到直线：的距离，故；又，由图分析可知，故．故答案为：．2.【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】已知等差数列的首项，若数列恰有6项落在区间内，则公差d的取值范围是__．【答案】【解析】设落在内的最小项为，则有，，，同时成立，即有nd，（n-1）d，（n+5）d9，（n+6）d同时成立，所以d0，有n，n-1，n+5，n+6，令=y，n=x，则有（x），画出可行域如图：可行域是一个平行四边形内部及部分边界线，A(1,1)，C（），所以1x，而x，因此x只能取2，此时y，所以，所以，故答案为.3.【江苏省常州市2019届高三上学期期中教学质量调研】设不等式组表示的平面区域为D，是区域D上任意一点，则的最大值与最小值之和是______．【答案】【解析】做出不等式组表示的平面区域，如图，的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离，由图可知，的最小值为原点到直线的距离，为，由，解得的最大值为．则的最大值与最小值之和．故答案为．4.【江苏省徐州市2019届高三第一学期期中】已知满足，则的最大值为_________．【答案】1【解析】画出可行域如图:因为k的几何意义为点到定点的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中，此时，故填1.5.【江苏省南通市2018届高三最后一卷】已知实数满足，且恒成立，则实数的最小值是__________．【答案】.【解析】画出表示的可行域，如图，直线过定点，若恒成立，可行域在直线下面，当直线过时，有最小值，最小值为，故答案为.6．【江苏省2018年高考冲刺预测卷一】已知关于实数，的不等式组，构成的平面区域为，若，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出不等式组的可行域如图所示表示可行域内一点与之间的距离的平方和点到直线的距离为故故实数的取值范围是7．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟】若实数满足,则的取值范围为_________．【答案】【解析】由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．的几何意义为可行域内的动点与定点O连线的斜率，∴kOA=2．由解得B（）.∴kOB=．∴则的取值范围是[，2]．故答案为：[，2]8．【江苏省2018年高考冲刺预测卷一】已知关于实数，的不等式组，构成的平面区域为，若，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出不等式组的可行域如图所示表示可行域内一点与之间的距离的平方和点到直线的距离为故故实数的取值范围是9．【江苏省扬州市2017-2018学年度第一学期期末调研测试高三】若实数，满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义为坐标原点与可行域内的点连线距离的平方，据此可得，目标函数取得最大值时经过点，其最大值为：，考查坐标原点到直线的距离：可得目标函数的最小值为.综上可得的取值范围是.10．【江苏省如东高级中学2018届高三上学期期中】函数2logyx图象上存在点,xy，满足约束条件，则实数m的最大值为__________．【答案】1【解析】由题知x0，且满足约束条件的图象为