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第二讲圆周运动及其应用一、描述圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等．现比较如下表：定义、意义公式、单位线速度①描述圆周运动的物体运动的物理量(v)②是矢量，方向和半径垂直，和圆周②单位：m/s角速度①描述物体绕圆心的物理量(ω)②中学不研究其方向②单位：rad/s快慢相切转动快慢①v＝ΔlΔt＝2πrT①ω＝ΔθΔt＝2πT定义、意义公式、单位周期和转速①周期是物体沿圆周运动的时间(T)，周期的倒数叫做频率(f)②转速是物体单位时间转过的(n)f的单位：Hz②n的单位：r/s、r/min向心加速度①描述速度变化的物理量(a)②方向指向圆心②单位：m/s2一周圈数①a＝v2r＝rω2方向快慢定义、意义公式、单位向心力①作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的，不改变线速度的②方向指向①F＝mrω2＝②单位：N相互关系①v＝rω＝2πTr＝2πrf②a＝v2r＝rω2＝ωv＝4π2rT2＝4π2f2r③F＝mv2r＝mrω2＝m4π2rT2＝mωv＝4π2mf2rmv2r方向大小．圆心二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动1．匀速圆周运动(1)定义：如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动．(2)性质：向心加速度大小，方向的变加速曲线运动．(3)质点做匀速圆周运动的条件：合力大小，方向始终与速度方向且指向圆心．不变总是指向圆心不变垂直2．非匀速圆周运动(1)定义：线速度大小、方向均的圆周运动．(2)合力的作用①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的发生变化大小．方向．三、离心运动和向心运动1．离心运动(1)定义：做的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．(2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着飞出去的倾向．(3)受力特点：当F＝时，物体做匀速圆周运动；当F＝0时，物体沿飞出；当F时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，如右图所示．圆周运动所需向心力圆周切线方向mrω2切线方向mrω32．向心运动当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即Fmrω2，物体渐渐向，如右上图所示．圆心靠近一、对公式v＝rω和a＝v2r＝rω2的理解1．由v＝rω知，r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反比．2．由a＝v2r＝rω2知，在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．二、向心力的来源分析向心力不是和重力、弹力、摩擦力等相并列的一种性质的力，是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体所受的作用力(重力、弹力、摩擦力、万有引力等)以外再添加一个向心力．向心力可能是物体受到的某一个力，也可能是物体受到的几个力的合力或某一个力的分力．例：几种常见的匀速圆周运动的实例三、火车转弯问题在火车转弯处，让外轨高于内轨，如右图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供．设车轨间距为L，两轨高度差为h，车转弯半径为R，质量为M的火车运行时应当有多大的速度？据三角形边角关系知sinθ＝hL，对火车的受力情况分析得tanθ＝F合Mg.因为θ角很小，所以sinθ＝tanθ，故hL＝F合Mg，所以向心力F合＝hLMg.又因为F合＝Mv2/R，所以车速v＝ghRL.由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：情况v车ghRLv车ghRL合力F与F向的关系FF向FF向不利影响火车挤压外轨火车挤压内轨结果外轨对车轮的弹力补充向心力内轨对车轮的弹力抵消部分合力1.如右图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是()A．它们的运动周期都是相同的B．它们的速度都是相同的C．它们的线速度大小都是相同的D．它们的角速度是不同的解析：地球上的物体均绕一个轴运动，其角速度、周期都相同，由v＝Rω知，R不同则v不同，只有A正确．答案：A2．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是()A．与线速度方向始终垂直B．与线速度方向始终相反C．始终指向圆心D．始终保持不变答案：AC3.(2011·上海市嘉定区一模)如右图所示，洗衣机的脱水桶采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中错误的是()A．脱水过程中，衣物是紧贴桶壁的B．水会从桶中甩出是因为水滴受到向心力很大的缘故C．加快脱水桶转动使角速度增大，脱水效果会更好D．靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好答案：B4.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如右图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于()A.gRhLB.gRhdC.gRLhD.gRdh答案：B解析：考查向心力公式．汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F向＝mgtanθ.根据牛顿第二定律：F向＝mv2R，tanθ＝hd，解得汽车转弯时的车速v＝gRhd，B对．5．小明同学在学习了圆周运动的知识后，设计了一个课题，名称为：快速测量自行车的骑行速度．他的设想是：通过计算踏脚板转动的角速度，推算自行车的骑行速度．经过骑行，他得到如下数据：在时间t内踏脚板转动的圈数N，那么踏板转动的角速度ω＝________；要推算自行车的骑行速度，还需要测量的物理量有________；自行车骑行速度的计算公式v＝________.解析：牙盘转动的角速度等于踏脚板转动的角速度ω＝2πn＝2πNt，链条的线速度为v＝ωr1＝2πNtr1，设牙盘的半径为r1、飞轮的半径为r2、自行车后轮的半径为R，自行车飞轮边缘与链条有相同的线速度，则飞轮的转动角速度为ω′＝vr2＝2πNr1tr2，后轮与飞轮有相同的角速度，自行车的骑行速度为后轮边缘的线速度v′＝ω′R＝2πNr1tr2R.若牙盘的齿数为m、飞轮的齿数为n，则r1r2＝mn，所以v′＝2πNr1tr2R＝2πNmtnR.答案：2πNt牙盘的半径r1(牙盘的齿数m)、飞轮的半径r2(飞轮的齿数n)、自行车后轮的半径R2πNr1tr2R或2πNmtnR如下图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；(2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.【思路点拨】O1、O2轮靠皮带相连，轮子边缘点的线速度大小相同；O1、O3轮通过转轴相连，轮子上各点具有相同的角速度．解析：(1)令vA＝v，由于皮带传动时不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC＝12v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1.(2)令ωA＝ω，由于共轴转动，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝vr知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω.所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.答案：(1)2∶2∶1(2)1∶2∶1(3)2∶4∶1(3)令A点向心加速度为aA＝an，因vA＝vB，由公式an＝v2r知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2an.又因为ωA＝ωC，由公式an＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比，故aC＝12an.所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.分析本题的关键有两点：其一是绕同一轮轴转动的各点角速度相同；其二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度大小相同．1－1：如下图所示为一种“滚轮—平盘无极变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成．由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴转速n1，从动轴转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是()解析：滚轮因与平盘有摩擦的作用而转动，并且认为不打滑，所以滚轮边缘的线速度与平盘上x处的线速度相等，即2πn1x＝2πn2r，所以选项A正确．答案：AA．n2＝n1xrB．n2＝n1rxC．n2＝n1x2r2D．n2＝n1xr(19分)在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝50m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝50kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0＝10m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5s时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－t2(单位：m)的规律变化，取g＝10m/s2.(1)求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小．(2)求在5s末被困人员B的速度大小及位移大小．(3)直升机在t＝5s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(2)被困人员5s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝10m/s(2分)合速度v＝v02＋vy2＝102m/s(1分)竖直方向上的位移y＝12at2＝25m(2分)水平方向的位移x＝v0t＝50m(1分)合位移s＝x2＋y2＝255m．(2分)【规范解答】解：(1)被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移y＝H－l＝50－(50－t2)＝t2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a＝2m/s2的匀加速直线运动由牛顿第二定律可得F－mg＝ma(2分)解得悬索的拉力F＝m(g＋a)＝600N．(1分)(3)t＝5s时悬索的长度l′＝50－y＝25m，旋转半径r＝l′sin37°(1分)由mgtan37°＝mv′2r(3分)解得v′＝1522m/s(1分)此时被困人员B的受力情况如下图所示，由图可知FTcos37°＝mg(2分)解得FT＝mgcos37°＝625N(1分)圆周运动中动力学问题的解答方法(1)确定做圆周运动的物体作为研究对象．(2)明确运动情况，包括搞清楚运动的速率v、半径R及圆心O的位置等．(3)分析受力情况，对物体实际受力情况进行正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力F(即提供向心力)．(4)合理选用公式F＝ma＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r.2－1：世界上平均海拨最高的铁路——青藏铁路于2006年7月1日全线贯通．假设某新型国产机车总质量为m，沿青藏铁路运行．如右图所示，已知两轨间宽度为L，内外轨高度差为h，重力加速度为g，如果机车要进入半径为R的弯道，请问，该弯道处的设计速度为多少最适宜？解析：机车在拐弯处可视为做圆周运动，此时向心力是由火车的重力和轨道对火车的支持力来提供的，如右图所示．设轨道与水平面的夹角为θ，则sinθ＝hL由向心力公式和几何关系可得：mgtanθ＝mv2R，tanθ＝hL2－h2解得：v＝gR·hL2－h2.答案：gR·hL2－h21.如右图所示为一种早期的自行车，这种不带链条传动的自行车的前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了()A．提高速度B．提高稳定性C．骑行方便D．减小阻力解析：这种老式不带链条的自行车，驱动轮为前轮，人蹬车的角速度一定的情况下，由v＝ωr可知，车轮半径越大，自行车的速度就越大，所以A正确．答案：A2.中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故．家住公路拐弯处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆