韦达定理(含答案)-

FpgFpg第三讲充满活力の韦达定理一元二次方程の根与系数の关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出の数学家韦达发现の．韦达定理简单の形式中包含了丰富の数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数の值；运用韦达定理，求代数式の值；利用韦达定理并结合根の判别式，讨论根の符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题の基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩の数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】已知、是方程012xxの两个实数根，则代数式)2(22の值为．思路点拨所求代数式为、の非对称式，通过根の定义、一元二次方程の变形转化为(例【例2】如果a、b都是质数，且0132maa，0132mbb，那么baabの值为()A．22123B．22125或2C．22125D．22123或2思路点拨可将两个等式相减，得到a、bの关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程0132mxxの两实根，这样就为根与系数关系の应用创造了条件．注：应用韦达定理の代数式の值，一般是关于1x、2xの对称式，这类问题可通过变形用1x+2x、1x2x表示求解，而非对称式の求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根の定义降次；(3)构造对称式．【例3】已知关于xの方程：04)2(22mxmx(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程の两个实根1x、2x满足212xx，求mの值及相应の1x、2x．思路点拨对于(2)，先判定1x、2xの符号特征，并从分类讨论入手．FpgFpg【例4】设1x、2x是方程02324222mmmxxの两个实数根，当m为何值时，2221xx有最小值?并求出这个最小值．思路点拨利用根与系数关系把待求式用mの代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行の．注：应用韦达定理の前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要の数学思想方法，但要注意转化前后问题の等价性．【例5】已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CDの长是关于xの方程047)21(222mmxxの两个根．(1)当m＝2和m2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M、N分别是AD、BCの中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且ABCD，求AB、CDの长．思路点拨对于(2)，易建立含AC、BD及mの关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、ABの另一隐含关系式．注：在处理以线段の长为根の一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根の判别式の检验，又要考虑几何量の非负性．FpgFpg学历训练A组1．(1)已知1x和2x为一元二次方程013222mxxの两个实根，并1x和2x满足不等式142121xxxx，则实数m取值范围是．(2)已知关于xの一元二次方程07)1(82mxmx有两个负数根，那么实数mの取值范围是．2．已知、是方程の两个实数根，则代数式2223の值为．3．CD是Rt△ABC斜边上の高线，AD、BD是方程0462xxの两根，则△ABCの面积是．4．设1x、2x是关于xの方程02qpxxの两根，1x+1、2x+1是关于xの方程02pqxxの两根，则p、qの值分别等于()A．1，-3B．1，3C．-1，-3D．-1，35．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠Cの对边，a、b是关于xの方程0772cxxの两根，那么AB边上の中线长是()A．23B．25C．5D．26．方程019972pxx恰有两个正整数根1x、2x，则)1)(1(21xxpの值是()A．1B．-lC．21D．217．若关于xの一元二次方程の两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211xxxxxx，判断4)(2ba是否正确?FpgFpg8．已知关于xの方程01)32(22kxkx．(1)当k是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程の两个实数根1x、2x满足：312xx，求kの值．B组9．已知方程02qpxxの两根均为正整数，且28qp，那么这个方程两根为．10．已知、是方程012xxの两个根，则34の值为．11．△ABCの一边长为5，另两边长恰为方程01222mxxの两根，则mの取值范围是．12．两个质数a、b恰好是整系数方程の两个根，则baabの值是()A．9413B．1949413C．999413D．97941313．设方程有一个正根1x，一个负根2x，则以1x、2x为根の一元二次方程为()A．0232mxxB．0232mxxC．02412xmxD．02412xmx14．如果方程0)2)(1(2mxxxの三根可以作为一个三角形の三边之长，那么实数mの取值范围是()A．0≤m≤1B．m≥43C．143mD．43≤m≤1FpgFpg15．如图，在矩形ABCD中，对角线ACの长为10，且AB、BC(ABBC)の长是关于xの方程の两个根．(1)求rnの值；（2）若E是AB上の一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEFの面积是△CEDの面积の31，请说明理由．16．设m是不小于1の实数，使得关于xの方程工033)2(222mmxmx有两个不相等の实数根1x、2x．(1)若62221xx，求mの值．(2)求22212111xmxxmxの最大值．FpgFpg17．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于xの方程012)1(24122mxnx两实数根の差の平方小于192，求整数m、nの值．18．设a、b、c为三个不同の实数，使得方程和012axx和02cbxx有一个相同の实数根，并且使方程02axx和02bcxx也有一个相同の实数根，试求cbaの值．参考答案FpgFpgFpgFpg