三角函数求值域专题-(2)

精品文档.求三角函数值域及最值的常用方法：对三角函数的考查，历来都是高考的重点，也是基础。考试大纲中对三角函数的要求是重基础，从近几年的高考试卷来看，三角函数的最值问题在高考中经常出现，本文总结归纳了三角函数求最值的几种类型，掌握这几种类型后，几乎所有三角函数的最值问题都可迎刃而解。类型1、利用辅助角公式：xbxaycossin)sin(22xba，化为一个角的三角函数形式。例1：求函数)2474(cossin4sin3cos35)(22xxxxxxf的最值，并求取得最值时x的值。解：由降幂公式和倍角公式，得xxxxf2sin222cos1322cos135)(332sin23cos32xx33)62cos(4x∵2474x，∴436232x，∴21)62cos(22x∴()fx的最小值为2233，此时247x，()fx无最大值。例2：已知函数2π()2sin3cos24fxxx，ππ42x，．（I）求()fx的最大值和最小值；（II）若不等式()2fxm在ππ42x，上恒成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）π()1cos23cos21sin23cos22fxxxxx∵π12sin23x．又ππ42x，∵，ππ2π2633x∴≤≤，即π212sin233x≤≤，maxmin()3()2fxfx，∴．（Ⅱ）()2()2()2fxmfxmfx∵，ππ42x，，精品文档.max()2mfx∴且min()2mfx，14m∴，即m的取值范围是(14)，．练习：函数xxycos3sin在区间[0,]2上的最小值为．类型2、化为cxbxaysinsin2二次函数类型例3：求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域．解:原函数可化为当sinx＝1时，ymax＝1；当sinx＝－1时，ymin＝－9，∴原函数的值域是[－9，1]．练习：函数)(2cos21cos)(Rxxxxf的最大值等于．3、dxcbxaysinsin型：反解xsin，利用正弦的有界性（或分离常数法）例4:求函数xxysin21sin的值域。解：由xxysin21sin变形为(1)sin21yxy，则有21sin1yxy，由21|sin|||11yxy22221||1(21)(1)1yyyy203y，则此函数的值域是2[,0]3y例5:求函数1cos21cos2xxy的值域.法一：原函数变形为1cos,1cos221xxy，可直接得到：3y或.31y精品文档.此函数的值域是,331,法二：原函数变形为,1121,1cos,121cosyyxyyx3y或.31y此函数的值域是,331,练习：求函数cos3cos3xyx的值域。4、型如dxcbxaxfcossin)(型此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为cxbxacossin再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例6：求函数sincos2xyx的值域。解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx,sinx)与定点Q(2,0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为33、33。结合图形可知，此函数的值域是33[,]33。解法2：将函数sincos2xyx变形为cossin2yxxy，∴22sin()1yxy由2|2||sin()|11yxy22(2)1yy，解得：3333y，故值域是33[,]33例7：求函数2cos(0)sinxyxx的最小值．解法一：原式可化为sincos2(0)yxxx，得21sin()2yx，即22sin()1xy，故2211y，解得3y或3y（舍），所以y的最小值为3．解法二：2cos(0)sinxyxx表示的是点(0,2)A与(sin,cos)Bxx连线的斜率，其中点B在左半圆221(0)aba上，由图像知，当AB与半圆相切时，y最小，此时xQPyO精品文档.3ABk，所以y的最小值为3．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．练习：求函数xxycos2sin2的值域。5、)cos(sincossinxxbxxay型：换元法．含有xxxxcossincossin与的最值问题。解此类型最值问题通常令xxtcossin，xxtcossin212，22t，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。注意t的范围。例8：求函数y＝(1＋sinx)(1＋cosx)的值域．解：原函数即为y＝1＋sinx＋cosx＋sinxcosx，∴原函数即为【反馈演练】1．当04x时，函数22cos()cossinsinxfxxxx的最小值是____________．2．函数sincos2xyx的最大值为_______，最小值为________.3．若函数)4sin(sin)2sin(22cos1)(2xaxxxxf的最大值为32，求a的值.4．已知函数2()2sinsin2fxxx．精品文档.（1）若[0,2]x．求使()fx为正值的x的集合；（2）若关于x的方程2[()]()0fxfxa在[0,]4内有实根，求实数a的取值范围.