《高考数学第一轮复习课件》第52讲互斥事件的概率、条件概率与相互独立事件的概率

新课标高中一轮总复习理数理数第七单元计算原理、概率与统计第52讲互斥事件的概率、条件概率与相互独立事件的概率1.了解互斥事件的概率、两个互斥事件的概率加法公式，能利用此公式求有关事件的概率.2.了解条件概率和相互独立事件同时发生的概率，理解n次独立重复试验的模型及二项分布.1.已知事件A、B的概率都大于零,那么()CA.如果A与B互斥，则与也互斥B.如果A、B不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件C.如果A、B是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件D.如果A+B是必然事件，那么它们一定是对立事件2.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率是.1213563.甲、乙两人独立解同一道题,甲解决这道题的概率是0.7,乙解决这道题的概率为0.8,那么恰有一人解决这一道题的概率是()BA.0.56B.0.38C.0.44D.0.94只有甲解决这道题的概率为0.7×(1-0.8)=0.14;只有乙解决这道题的概率为0.8×(1-0.7)=0.24.故恰有一人解决这一问题的概率为0.１4+0.24=0.38,选B.4.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是.［0.4,1)依题意,得p·(1-p)3≤p2(1-p)2,解得p≥0.4.又p1,故0.4≤p1.14C24C5.有3道选择题和2道填空题,如果依次不放回地抽取2道,则在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到选择题的概率为.12第一次抽到选择题的概率为,则第二次抽到选择题的概率为＝.3524121.互斥事件①,叫做互斥事件.如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，那么就说A1，A2，…，An彼此互斥.2.对立事件如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生,那么这样的两个互斥事件叫做②.通常事件A的对立事件记作,且有P(A)+P()=1.不可能同时发生的两个事件对立事件A3.互斥事件的概率加法公式设A、B是两个事件，A+B表示这样的事件，如果在一次试验中A或B中至少有一个发生就表示该事件发生.当A与B为互斥事件时,P(A+B)=③.一般的,若A1,A2，…,An彼此互斥,则有P(A1+A2+…+An)=④.4.条件概率设A、B为两个事件,且P(A)0,称⑤.为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+…+P(An)P(B|A)＝()()PABPA5.相互独立事件⑥.，这样的两个事件叫做相互独立事件.6.相互独立事件同时发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=⑦.一般的,如果事件A1、A2、…、An相互独立,则有P(A1·A2·…·An)=⑧.事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响P(A)·P(B)P(A1)·P(A2)·…·P(An)7.独立重复试验若n次重复试验中,⑨.,则称这n次试验是独立的.8.n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是⑩.如果设q=1-p,则Pn(k)就是(p+q)n的展开式中的第(k+1)项,故Pn(k)=pk(1-p)n-k也叫做.每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果Pn(k)=pk(1-p)n-kknCknC11二项分布公式题型一互斥事件的概率例1典例精讲典例精讲典例精讲典例精讲一个口袋里共有7个白球4个红球，现在一次取出三个球，则这三个球中至少有一个红球的概率是多少？（方法一）记“三个球中至少有一个红球”为事件A，“三个球中恰有一个红球”为事件A1，“三个球中有两个红球”为事件A2，“三个球全是红球”为事件A3，则A=A1+A2+A3,且这三个事件两两互斥,故得P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)==.(方法二)记“三个球全是白球”为事件,且是A的对立事件，则P()==,故得P(A)=1-P()=.1221347474333111111CCCCCCCC2633A37311CC733A2633点评点评在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求出此事件的对立事件的概率.变式变式变式从标有1，2，3，4，5，6，7的7个小球中取出一个，记下它上面的数字，放回并搅动，再取出一球，记下它上面的数字，若两个数字之和大于11或两个数字之积小于11就能中奖，问中奖的概率是多少？从7个小球中有放回地两次取球，两个数字之和大于11的概率是，两个数字之积小于11的概率是=,因为两个数字之和大于11与两个数字之积小于11是两个互斥事件，所以中奖的概率为+=.649214937649372749本题是有放回地取球.如果是不放回地取球，则可用数对标记列举出来.点评点评题型二条件概率例2在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现从中不放回地取两次，每次任取一件.试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.设A={第一次取到不合格品}，B={第二次取到不合格品}.(1)P(A)==0.05.(2)根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB的概率.P(AB)=×=,所以有P(B|A)===.510051004991495()()PABPA14955100499点评点评1.在等可能性事件的问题中，求条件概率通用的方法是利用条件概率公式P(B|A)=,这就需要求出P(AB)和P(A),用到原来的概率知识.2.本题中可以计算事件B的概率为P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=×+×==0.05,可见，条件概率P(B|A)≠P(B).5100()()PABPA599499951005100题型三相互独立事件发生的概率例3甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，试求：（1）两人都译出密码的概率；（2）两人都译不出密码的概率；（3）恰有1人译出密码的概率；（4）至多1人译出密码的概率.设“甲译出密码”为事件A，“乙译出密码”为事件B，则A与B相互独立.(1)P(A·B)=P(A)·P(B)=×=.(2)P(·)=P()·P()=(1-)×(1-)=.(3)P=P(A·+·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=×(1-)+(1-)×=.(4)P=1-P(A·B)=1-=.1314112ABAB1314112BABA131413145121121112要分清“互斥事件”与“相互独立事件”的概念，以及“互斥”与“独立”的概念.点评点评变式变式变式如右图所示，开关电路中，开关S1、S2、S3开或关的概率均为,且是相互独立的,求灯亮的概率.12设事件A、B、C分别表示S1、S2、S3关闭，则S1、S2同时关闭或S3关闭时灯亮，即A·B·或A·B·C或··C或·B·C或A··C发生,故P=P(A·B·)+P(A·B·C)+P(··C)+P(·B·C)+P(A··C)=P(A)·P(B)·P()+P(A)·P(B)·P(C)+P()·P()·P(C)+P()·P(B)·P(C)+P(A)·P()·P(C)=5×()3=，即灯亮的概率为.ACBABCABABCABAB125858分类讨论时要注意不重复不遗漏.点评点评题型四独立重复试验与互斥事件的综合与应用例4对某种抗癌新药的疗效进行试验，假定该药对某种癌症的治愈率为80%，现有10名患者同时服用此药，求其中至少有6人被治愈的概率(精确到0.01).记“一病人被治愈”为事件A，则P(A)=0.8,则至少有6人被治愈的概率为：P=P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)=×0.86×0.24+×0.87×0.23+×0.88×0.22+×0.89×0.2+×0.810=0.97.610C710C810C910C1010C备选题备选题甲、乙两个篮球运动员,投篮的命中率分别为0.5和0.8,每人投篮两次.(1)求甲投进两球且乙至少投进一球的概率；(2)若投进一个球得２分，未投进得0分，求甲、乙两人得分相同的概率.(1)设“甲投进两球且乙至少投进一球”为事件A,“甲投进两球”为事件B,“乙至少投进一球”为事件C,则A=B·C.由P(B)=0.5×0.5＝0.25，P(I)=×0.8×(1-0.8)+0.82＝0.32+0.64＝0.96,得P(A)=P(B)·P(C)=0.25×0.96＝0.24.(2)设“得分相同”为事件M,则P(M)=0.52×0.82+×0.5×(1-0.5)××0.8×(1-0.8)+(1-0.5)2×(1-0.8)2＝0.２5×0.64+0.5×0.32+0.25×0.04＝0.33.12C12C12C本题中的“得分相同”意指“两人得分均为0分”或“两人得分均为２分”或“两人得分均为４分”.点评点评方法提炼方法提炼1.求复杂的互斥事件的概率,一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能性事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法,先求出此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(),若解决“至多”“至少”型的题目，此方法显得比较方便.A2.解题时注意“互斥事件”与“对立事件”的区别与联系，搞清楚“互斥事件”与“等可能性事件”的差异.3.解概率问题时，一定要根据有关概念，判断是否为条件概率或等可能事件，或互斥事件，或相互独立事件，还是某一事件在n次独立重复试验中恰好发生k次等概率的情况，以便选择正确的计算方法.4.解题过程中，要明确条件中“至少”“至多”“恰好”“都发生”“都不发生”和“不能发生”等词语的意义，以及它们的概率之间的关系和计算公式.5.如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.走进高考走进高考学例1(2008·湖南卷)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：（1）至少有1人面试合格的概率;（2）签约人数ξ的分布列和数学期望.12设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙面试合格.由题意知事件A、B、C相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）=.（1）至少有1人面试合格的概率是1-P(··)=1-P()P()P()=1-()3=；（1）“至少”问题可转化为对立事件的概率关系求解；（2）用概率的乘法公式求随机变量的概率，定义法求期望.分析分析12ABCABC1278(2)ξ的可能取值为0，1，2，3.P（ξ=0）=P(·B·)+P(··C)+P(··)=P()P(B)P()+P()P()P(C)+P()·P()P()=()3+()3+()3=;P(ξ=1)=P(A··C)+P(A·B·)+P(A··C)=P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)·P()P()ABCAABCACABABC12121238BCBBCBC=()3+()3+()3=；P(ξ=2)=P(·B·C)=P()P(B)P(C)=；P(ξ=3)=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=；所以，ξ的分布列是ξ的期望Eξ=0×+1×+2×+3×=1.A12381212A1818ξ0123P3838181838381818(2008·四川卷)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品是相互独立的.(1)求进入该商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入该商场的3位顾客中,至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率.学例1(1)设A表示事件“进入该商场的1位顾客选购甲种商品”，B表示事件“进入该商场的1位顾