用二分法求方程的近似解1

课题：3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标：1.了解二分法是求方程近似解的常用方法；2.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤,通过二分法求方程的近似解使学生体会方程与函数之间的关系；3.培养学生动手操作的能力。复习旧知复习提问：什么叫函数的零点？零点的等价性什么？零点存在性定理是什么？零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)有实数根↔函数y=f(x)的图象与x轴有交点↔函数y=f(x)有零点如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.一元二次方程可以用公式求根,但是没有公式可以用来求方程lnx+2x-6=0的根,能否利用函数的有关知识来求它的根呢？提出问题研讨新知我们已经知道,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？如果能够将零点的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.我来说我要问我要说研讨新知取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084,因为f(2.5)×f(3)0,所以零点在区间(2.5,3)内；再取区间(2.5,3)的中点2.75,算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.5)×f(2.75)0,所以零点在(2.5,2.75)内;…在有限次重复相同的步骤后,在一定的精度下,可以将所得到的零点所在区间上任意的一点(如:端点)作为零点的近似值。做一做例根据下表计算函数在区间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？62xlnx)x(f区间（a，b）中点值mf(m)的近似值精确度|a-b|（2，3）2.5-0.0841（2.5，3）2.750.5120.5（2.5，2.75）2.6250.2150.25（2.5，2.625）2.56250.0660.125（2.5，2.5625）2.53125-0.0090.0625（2.53125，2.5625）2.5468750.0290.03125（2.53125，2.546875）2.53906250.010.015625（2.53125，2.5390625）2.535156250.0010.007813解:观察上表知:0.0078130.01,所以x=2.53515625≈2.54为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。给这种方法取个名字?定义：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)0的函数y=f(x),通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法。想一想：你能归纳出用二分法求函数零点近似值的步骤吗？1、确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε2、求区间(a,b)的中点x13、计算f(x1);(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点(2)若f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1))(3)若f(x1)0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b))4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4想一想为什么由|a-b|ε便可判断零点的近似值为a或b?答：设函数零点为x0,则ax0b,则:0x0-ab-a,a-bx0-b0;由于|a-b|ε,所以|x0-a|b-aε,|x0-b||a-b|ε,即a或b作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度ε。x01234567f(x)=2x+3x-7-6-2310214075142巩固深化例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到0.1）237xx分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?解:原方程即,令,用计算器或计算机作出函数的对应值表与图象（如下):2370xx()237xfxx()237xfxx4321-1-2-3-4-5-6-2246810fx=2x+3x-701观察上图和表格,可知f(1)·f(2)0,说明在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)0,所以x0∈(1,1.5),再取(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器求得f(1.25)≈-0.87,因此f(1.25)·f(1.5)0,所以x0∈(1.25,1.5),同理可得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375),由|1.375-1.4375|=0.06250.1,此时区间(1.375,1.4375)的两个端点,精确到0.1的近似值都是1.4,所以原方程精确到0.1的近似解为1.4.例2.求函数的零点,并画出它的图象.3222yxxx略解:所以零点为-1,1,2;3个零点把横轴分成4个区间,然后列表描点画出它的图象.3222(2)(1)(1)yxxxxxx····-1012xy2例3.已知函数的图象如图所示,则().32()fxaxbxcxd··012A.b∈(-∞,0)B.b∈(0,1)C.b∈(1,2)D.b∈(2,+∞)略解:由题意f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(-1)0.得:d=0,a+b+c=0,8a+4b+2c=0,-a+b-c0.求得b0.选A.例4.已知函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是().2()(3)1fxmxmxA.(0,1]B.(0,1)C.(-∞,1)D.(-∞,1]略解:m=0时,f(x)=-3x+1符合题意,故可排除A和B;m=1时,二次函数与x的交点(1,0)在原点右侧,符合题意,故选D.2()21fxxx用二分法求解方程的近似解：1、确定区间[a,b]，验证f(a)*f(b)0，给定精确度ε2、求区间(a,b)的中点x13、计算f(x1);(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点(2)若f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1))(3)若f(x1)0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b))4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4作业P92习题3.1A组：3，4，5题