因式分解讲义

1因式分解知识点1：因式分解的定义1．分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：①8)3)(3(892xxxx（）②)49)(49(4922yxyxyx（）③9)3)(3(2xxx（）④)2(222yxxyxyxyyx（）知识点2：公因式公因式：定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定：（1）符号:若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1．的公因式是多项式963ab-abyabx_________2．多项式3223281624abcababc分解因式时，应提取的公因式是（）A．24abcB．38abC．32abD．3324abc3.342)()()(nmmnynmx的公因式是__________知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1.可以直接提公因式的类型：（1）3442231269bababa=________________；（2）11nnnaaa=____________（3）542)()()(babaybax=_____________（4）不解方程组23532xyxy，求代数式()()()22332xyxyxxy的值2.式子的第一项为负号的类型：（1）①33222864yxyxyx=_______________②243)(12)(8)(4nmnmnm=_______2（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时）如：22188yx练习：1．多项式:abyabxab24186的一个因式是ab6,那么另一个因式是()yxA431..yxB431..Cyx431D..yx4312.分解因式－5(y－x)3－10y(y－x)33.公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。（若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如）（）（）（）（1-x-yx-yx-y-x-y)(-)(55656xyyx例：(1)（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）(2)（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）（3）aababaabba()()()32222练习：1．把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（）(A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1)2．多项式)3()3(3yxyx的分解因式结果（）A．))(3(3xxyB．))(3(3xxyC．)1)(3(2xyxD．)1)(3(xyx3．分解因式：（1）)(()()(yxxynyxm________)（2）－6(x－y)4－3y(y－x)5知识点4公式法分解因式．公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。3一、平方差公式分解因式法平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。即a2-b2=(a+b)(a-b)特点：1、是一个二项式，每项都可以化成整式的平方.2.两项的符号相反.例如：1、判断能否用平方差公式的类型．（1）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）(A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16m4-25n2p2（2）．下列各式中，能用平方差分解因式的是（）A．22yxB．22yxC．22xyxD．21y2、直接用平方差的类型（1）22916yx（2）1252x（3）14x3、整体的类型：（1）22)(nnm（2）22)32()(yxyx4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型(1)m3—4m=．(2)aa3．练习：将下列各式分解因式（1）22241xx(2)100x2－81y2；(3)9(a－b)2－(x－y)2；（4）5aa（5）xx93（6）)()(3nmnm（7）3)2(4)2(yxyx二、完全平方式分解因式法完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。即a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)24特点：（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解如：下列多项式能分解因式的是（）A．yx2B．22yxC．yyx22D．962xx2、关于求式子中的未知数的问题如：1．若多项式162kxx是完全平方式，则k的值为（）A．—4B．4C．±8D．±42．若kxx692是关于x的完全平方式，则k=3.若49)3(22xmx是关于x的完全平方式则m=__________3、直接用完全平方公式分解因式的类型(1)2816xx；(2)224129xxyy；(3)224xxyy；(4)224493mmnn4、整体用完全平方式的类型(1)(x－2)2＋12(x－2)＋36；（2）2)()(69baba5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型(1)-4x3+16x2-16x；(2)21ax2y2+2axy+2a（3）已知：2,1yxab，求xyababyabx63322的值练习：分解因式（1）442xx（2）641622axxa（3）4224168bbaa（4）49)(14)(2yxyx（5）2)()(69baba（6）22312123xyyxx（7）21222xx5知识点5、十字相乘法分解因式．十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b）=abxbax)(2，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。如:分解因式：①1072xx②3522xx(3)a2+6ab+5b2(4)x2+5x+6(5)x2-5x+6(6)x2-5x-6练习：(1)x2+7x+12(2)x2-8x+12(3)x2-x-12(4)x2+4x-12(5)y2+23y+22(6)x2-8x-20(7)x2+9xy-36y2(4)x2+5x-6知识点6、分组的方法分解因式如(1)mmm205443(2)144224xyx练习：（1）222449cbcba（2）124323xxx（3）22962yyxx（4）44922yyx（5）4222yxyxy6小结因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。“一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式三项的用完全和平方、差平方公式）；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以上考虑分组分解法。课后练习：分解因式单元练习一、选择题（每题4分，共40分）1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（）（A）baba222（B）1112mmm（C）12122xxxx（D）112bababbaa2．把多项式－8a2b3＋16a2b2c2－24a3bc3分解因式，应提的公因式是()，（A）－8a2bc（B）2a2b2c3（C）－4abc（D）24a3b3c33．下列因式分解中，正确的是（）（A）63632mmmm（B）babaaabba2（C）2222yxyxyx（D）222yxyx4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）（A）42a（B）22a（C）42a（D）42a5．把－6(x－y)3－3y(y－x)3分解因式，结果是()．（A）－3(x－y)3(2＋y)（B）－(x－y)3(6－3y)（C）3(x－y)3(y＋2)（D）3(x－y)3(y－2)6．下列各式变形正确的是（）（A）baba（B）baab（C）22baba（D）22baab7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()．（A）4x2－1（B）4x2＋4x－1（C）x2－xy＋y2D．x2－x＋12[21世纪教育网8．因式分解4＋a2－4a正确的是()．（A）(2－a)2（B）4(1－a)＋a2（C）(2－a)(2－a)（D）(2＋a)29．若942mxx是完全平方式，则m的值是（）（A）3（B）4（C）12（D）±12710．已知3ba，2ab，则2ba的值是（）。（A）1（B）4（C）16（D）9二、填空题（每题4分，共20分）21世纪教育网1．21042abba分解因式时，应提取的公因式是.2．mbmam；1x；acba.3．多项式92x与962xx的公因式是.4．利用因式分解计算：22199201.5．如果a2＋ma＋121是一个完全平方式，那么m＝________或_______。三、解答题:1．将下列各式因式分解:（每题5分，共40分）21世纪教育网(1)cabababc249714；(2)a(x＋y)＋(a－b)(x＋y)；(3)100x2－81y2；(4)9(a－b)2－(x－y)2；(5)(x－2)2＋12(x－2)＋36；(6)yxyxm2[（7）22312123xyyxx（8）22241xx2.（满分10分）已知：a+b=3,x-y=1,求a2+2ab+b2-x+y的值.3．（满分10分）已知a－b＝2005，ab＝20082005，求a2b－ab2的值。