规范答题示例8

规范答题示例8解析几何中的探索性问题典例8(12分)已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.(1)若线段AB中点的横坐标是－12，求直线AB的方程；(2)在x轴上是否存在点M，使MA→·MB→为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.审题路线图(1)设AB的方程y＝kx＋1→待定系数法求k→写出方程(2)设M存在即为m，0→求MA→·MB→→在MA→·MB→为常数的条件下求m→下结论规范解答·分步得分解(1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.2分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝36k4－43k2＋13k2－50，①x1＋x2＝－6k23k2＋1.②由线段AB中点的横坐标是－12，得x1＋x22＝－3k23k2＋1＝－12，解得k＝±33，适合①.所以直线AB的方程为x－3y＋1＝0或x＋3y＋1＝0.4分(2)假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA→·MB→为常数.由(1)知x1＋x2＝－6k23k2＋1，x1x2＝3k2－53k2＋1.③所以MA→·MB→＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)(ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时，＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.7分将③代入，整理得MA→·MB→＝6m－1k2－53k2＋1＋m2＝2m－133k2＋1－2m－1433k2＋1＋m2＝m2＋2m－13－6m＋1433k2＋1.9分注意到MA→·MB→是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，解得m＝－73，此时MA→·MB→＝49.10分(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为－1，23，－1，－23，当m＝－73时，也有MA→·MB→＝49.11分综上，在x轴上存在定点M－73，0，使MA→·MB→为常数.12分构建答题模板第一步先假定：假设结论成立.第二步再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解.第三步下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设.第四步再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.评分细则(1)不考虑直线AB斜率不存在的情况扣1分；(2)不验证Δ0，扣1分；(3)直线AB方程写成斜截式形式同样给分；(4)没有假设存在点M不扣分；(5)没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分.MA→·MB→故椭圆C的方程为x216＋y212＝1.跟踪演练8已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x－5y＋12＝0相切.解由题意得ca＝12，127＋5＝b，a2＝b2＋c2，∴a＝4，b＝23，c＝2，解答(1)求椭圆C的方程；解答(2)设A(－4,0)，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝163于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.本课结束更多精彩内容请登录：