9.4.6(2)三垂线定理及其逆定理

aPOA垂线射影斜线逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.简记为：线与射影垂直线与斜线垂直三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.简记为：线与射影垂直线与斜线垂直PMCAB例、已知：PA⊥平面ABC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:PB=PCM是BC的中点PM⊥BCPA⊥平面PBCAM是PM在平面ABC上的射影三垂线逆定理(1)已知:PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点.求证：PO⊥BD，PC⊥BD证明:ABCD为正方形O为BD的中点AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD同理，AC⊥BDAC是PC在ABCD上的射影PC⊥BD练习:三垂线定理POABCD用三垂线定理及其逆定理解题的关键：定面、找线！怎么找？运用三垂线定理证明的一般步骤：2找直线（找平面的垂线、斜线、射影）3、证垂直（证平面内一直线与斜线或与射影垂直）PCBA1、定平面POABCD课后小结例3如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO分析：要证∠BAO=∠CAO只须证OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???证明：∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在内的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB得OE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立若∠COA=∠COB①若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上结论：②过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等,则这条射线在平面内的射影是角平分线CAOB则CO在平面AOB内的射影为角AOB的平分线例4、路旁有一条河，从南岸可以望到北岸的电塔CD，测量者在南岸，工具有测角仪和皮尺，不过河能否求出电视塔顶C与南岸的距离？解：在路边取点A和B，使AD与岸边所成水平角，使水平角∠ABD=45°，测得A、B的距离等于am.DCA90°B45°090DABDCA90°B45°∵∠ABD=45°，AD⊥AB，AB=am∴AD=am，答：电塔顶与南岸的距离是因此斜线AC的长度就是电塔顶与南岸的距离。三垂线定理测出仰角∠CAD=θ,于是有AC=maACBBCcoscosθmacos∵AD是AC的射影且AD⊥AB∴AB⊥AC练习：32页1、3作业：32页2在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方体AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1证明：CBA1B1C1ADD1同理可证，A1C⊥B1D1由三垂线定理知A1C⊥BC1例3:在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求证：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.证明：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCB∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，