计数原理和二项式专题-排列组合问题解法

成青数学系列笔记2010.2.18计数原理和二项式专题排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一．直接法1．特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A，其余2位有四个可供选择24A，由乘法原理：25A24A=2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A=60，1不在千位时，千位有14A种选法，个位有14A种，余下的有24A，共有14A14A24A=192所以总共有192+60=252二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法2435462AAA=252例2有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352AC个，其中0在百位的有2242C22A个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352AC-2242C22A=432（个）三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例3在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019AA=100中插入方法。四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例44名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A种排法，而男生之间又有44A种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A×44A=576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（3324AC）2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安成青数学系列笔记2010.2.18排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129AC）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C其余的就是19所学校选28天进行排列）五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？当项中只有一个字母时，有14C种（即a.b.c.d而指数只有15故01414CC。当项中有2个字母时，有24C而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，114C即24C114C当项中有3个字母时34C指数15分给3个字母分三组即可21434CC当项种4个字母都在时31444CC四者都相加即可．练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（216C）3．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整数解有（4999C）六．平均分堆问题例66本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有33A=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有33222426ACCC=15种练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。七．合并单元格解决染色问题例7（全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．下面分情况讨论:(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素①③⑤的全排列数A44（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得A44种着色法．2,4成青数学系列笔记2010.2.183,52,4（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格①从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有AC3334种方法．由加法原理知：不同着色方法共有2ACA333444=48+24=72（种）练习1（天津卷（文））将3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共种（以数字作答）（72）2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．（120）图3图43．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）图5图65．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）八．递推法例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种（335C+3=33）2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？12345546132EDCBA4321DBCEA成青数学系列笔记2010.2.18(310C-436C+4-334C+3-6C34+6+2×6=29)(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？三棱锥C104-4C64-6C44-3C44=141四棱锥6×4×4=963×6=18共有114十．先选后排法例9有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（）A.1260种B.2025种C.2520种D.5054种分析：先从10人中选出2人十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．解把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25A=20种例11．个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．解把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．59C=126种例12从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．解把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。10991C例13某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．解无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．37C=35（种）例14一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．解根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．612C=924（种）．例15求（a+b+c）10的展开式的项数．解展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．212C=66（种）例16亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610C=252（种）十二．转化命题法例17圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有415C=1365（个）成青数学系列笔记2010.2.18十三．概率法例18一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为21，故本例所求的排法种数就是所有排法的21，即21A=360种十四．除序法例19用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？解（1）3377AA（2）443377AAA十五．错位排列例20同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有种（9）公式1）))(1(21nnnaanan=4时a4=3(a3+a2)=9种即三个人有两种错排，两个人有一种错排．2）na=n!(1-!11+!21-!31+…+n1!1n练习有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）计数原理练习题1．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有（）A．30个B．42个C．36个D．35个2．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）A．72种B．48种C．24种D．12种3．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A．10种B．52种C．25种D．42种4．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）A．8B．15C．16D．30成青数学系列笔记2010.2.185．从甲地去乙地有3