中考数学最值问题研究

1中考数学中的几何最值问题在近几年各地中考中，几何最值问题屡屡受到命题者关注，此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何图形的性质、平面直角坐标系、方程与不等式、函数知识等。因此一批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题、活题脱颖而出。这类试题较好地考查了同学们的几何探究、推理能力的要求及数学思想方法的运用。本节课以近几年的全国各地的中考题为例加以讲解，希对同学们的备考有所帮助。1．（2009年潍坊市）已知边长为a的正三角形ABC，两顶点AB、分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是____________．解：取AB的中点D，连结OD、CD、OC，则OD=a21，且CD⊥AB，，∴CD=a23，当C，D，O三点共线时，OC=OD+CD，否则OC＜OD+CD，∴OC长的最大值是a21+a23。点评本题求一条线段的最大值，关键是抓住斜边长度确定，斜边上的中线长也确定，利用三角形两边之和大于第三边，寻找突破口从而求解。2．（2008年兰州）如图，在ABC△中，1086ABACBC，，，经过点C且与边AB相切的动圆与CBCA，分别相交于点EF，，则线段EF长度的最小值是（）A．42B．4.75C．5D．4.8解：易知⊿ABC是直角三角形，所以EF是圆的直径，设切点是D，因为直径是圆中最长的弦，所以EF≥CD，作CH⊥AB于点H，则CD≥CH，所以有EF≥CH，即EF长度的最小值是CH，利用面积方法易得CH=4.8。所以线段EF长度的最小值是4.8，故选D。点评本题求一条线段的最小值，通过转化后利用垂线段最短求解。3．（2009年四川达州）在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）。OyxACBEFDCBAHEFDCBA2解：B、Q在直线AC同侧，动点P只能在AC上运动。⊿PBQ中，B、Q为定点，故BQ长度不变，要使⊿PBQ周长最小，应使动点P到两定点B、Q之和PB+PQ最小。直线AC是正方形的对称轴，点Q关于对角线AC的对称点Q′一定落在边CD上，如图所示，当B、P、Q′共线时PB+PQ=PB+PQ′=BQ′=5取最小值，则△PBQ周长的最小值为5+1。点评本题有一定的难度，△PBQ周长的最小值问题转为求一个动点到两个定点的距离和的最小值问题，通过作对称点的方法，当三点共线时，两条线段和△PBQ周长的最小。4．（2010年苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．222D．22解：当AD为⊙C的切线，切点为D时，OE最长，BE最短，此时⊿ABE面积最小，易证⊿AOE∽⊿ADC，所以ADAOCDOE，可求得OE=22，于是BE=2-22，从而△ABE面积的最小值是222221222。选D。点评本题求面积的最小值，由于三角形的高确定，因此只要求底（即一条线段）的最小值即可，根据圆的性质，易知AD处于极端位置（切线）时，所求三角形的面积最小。5．（2010年天津市）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OA，4OB，D为边OB的中点.Q'QPDCBA3（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且2EF，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.温馨提示如图可以作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，△CDE的周长是最小的。这样，你只需要求出OE的长，就可以确定点E的坐标了。解：（1）如图，作点D关于x轴的对称点D，连接CD与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点E（与点E不重合），连接CE、DE、DE.由DECEDECECDDECEDECE，可知△CDE的周长最小.∵在矩形OACB中，3OA，4OB，D为OB的中点，∴3BC，2DODO，6DB.∵OE∥BC，∴Rt△DOE∽Rt△DBC，有OEDOBCDB.∴2316DOBCOEDB.∴点E的坐标为（1，0）.（2）如图，作点D关于x轴的对称点D，在CB边上截取2CG，连接DG与x轴交于点E，在EA上截取2EF.∵GC∥EF，GCEF，∴四边形GEFC为平行四边形，有GECF.又DC、EF的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.∵OE∥BC，∴Rt△DOE∽Rt△DBG,有OEDOBGDB.∴()21163DOBGDOBCCGOEDBDB.∴17233OFOEEF.∴点E的坐标为（13，0），点F的坐标为（73，0）点评本题（1）有一个温馨提示，而问题（2）要使四边形CDEF的周长最小，注意到DC、EF的长为定值，故只需DE+CF最小，用轴对称及平移方法设法将DE、CF集中到一条直线上解决问题。6．（2009年郴州市）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，－1），且P（－1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．yBODCAxEDyBODCAxyBODCAxEDGFyBODCAxEED4（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．解：（1）设正比例函数解析式为ykx，将点M（2，1）坐标代入得12k=，所以正比例函数解析式为12yx=·······································································2分同样可得，反比例函数解析式为2yx=····················································3分（2）当点Q在直线DO上运动时，设点Q的坐标为1()2Qmm，，·····································································4分于是，241212121mmmBQOBSOBQ而，1|)2()1(|21OAPS所以有，2114m=，解得2m······························································6分所以点Q的坐标为1(21)Q，和2(21)Q，--·····················································7分（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．·································································8分因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为2()Qnn，，由勾股定理可得222242()4OQnnnn=+=-+，所以当22()0nn-=即20nn-=时，2OQ有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与2OQ同时取得最小值，所以OQ有最小值2．···············································································9分图1xyBhx=2xAOMQP图2xyfx=2xBCAOMPQ5由勾股定理得OP＝5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2()2(52)254OPOQ+=+=+．····················································10分点评本题中的（1）、（2）小题相对较简单，问题（3）求平行四边形周长的最小值，注意到OP的长为定长，只需求邻边OQ的最小值，通过勾股定理、配方求解。其实本题还有另外两种解法：44242222nnnn，即OQ2的最小值为4。反比例函数2yx=的一条对称轴为一、三象限的角平分线，即直线y=x，所以取到最小值的点Q只能是反比例函数2yx=与直线y=x在第一象限的交点，同样可求得OQ2的最小值为4。7．（2010年宁德市）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为13时，求正方形的边长.解：⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠ABM＝∠EBN.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.………………5分⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.………………7分②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.………………9分理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，N∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.……11分⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝23x，EF＝2x.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（2x）2＋（23x＋x）2＝213.………………12分解得，x＝2（舍去负值）.∴正方形的边长为2.………………13分点评此题中第（2）小题将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题，特别是第（2）小题，更是利用了BM绕点B逆时针旋转60°得到⊿BMN是等边三角形的特殊结构，将三条线段的和转化为“两点之间，线段最短”问题，再结合图形的特殊对应结构EADBCNMFEADBCM6进行分析，从而确定AM＋BM＋CM取最小值时，点M的位置，在第（2）小题的基础上，第（3）小题显而易见可转化为Rt⊿EFC来解决。在动转化为静的过程中，对同学们的思维能力提出了更高的要求。8．（2010年通化市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB·AF＝CB·CD；（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点．设DP＝xcm（0x），四边形BCDP的面积为ycm2．①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．解：⑴∵AD=CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC，∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF。∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°∠CAB+∠B=90°，∴∠DCF=∠DAF=∠B在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B∴△DCF∽△ABC.∴.CDCBAFAB，CBCFABCD即∴AB·AF=CB·CD⑵①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,∴AC=1