函数的基本性质

1.3.1函数的单调性首先我们来观察函数f(x)=x的图像f(x)=x的函数图像-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-3-2-10123y再观察二次函数f(x)=x的函数图像200.511.522.533.544.5-3-2-10123y函数图像的“上升”、“下降”反映了函数的性质，我们把这种性质称为函数的单调性问题：除了通过函数图像外，还有别的什么方法来描述这种“上升”或是“下降”的特点吗？列表法X-2-1012f(x)=x-2-1012从该表格中也可以看出，随着自变量x逐渐增大，函数值f(x)也是逐渐增大的。也就是说，对于任意两个R中的数x1、x2,只要x1x2,就有f(x1)f(x2)X-2-1012f(x)=x*x41014在区间(-∞,0]上，随着x增大，相应的函数值f(x)反而随着减小；在区间[0,+∞)上，随着x增大，相应的函数值f(x)也增大。在区间(-∞,0]上，任取两个x1、x2,得到f(x1)、f(x2)，当x1x2时,就有f(x1)f(x2)，这时我们就说函数f(x)在区间(-∞,0]上是减函数在区间[0,+∞)上，任取两个x1、x2,得到f(x1)、f(x2)，当x1x2时,就有f(x1)f(x2)，这时我们就说函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数。一般地，设函数f(x)的定义域I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两自变量的值x1,x2,当x1x2时,就有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。函数单调性的定义如果对于定义域I内某个区间D上的任意两自变量的值x1,x2,当x1x2时,就有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。其中区间D称为函数的单调区间要注意的几点(1)函数的单调性是函数在某个区间上的性质这个区间可以是整个定义域，如y=x,在整个定义域上都是增函数这个区间也可以是定义域的真子集。（2）不是所有的函数都具有单调性（3）求函数的单调性区间，就是求函数保持同一单调性不变的最大区间。请看书中的29页例1函数单调性的证明（重难点）1、取值：设x1、x2为该区间内任意的两个值，且x1x2;2、作差变形：作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；3、定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；4、判断：根据定义下结论。请看课本29页中例2补充例题：试判断在（-∞,0)上的单调性,再用定义证明。21()fxxx作业：1求下列函数的单调性()|1||24|fxxx2、自己学习本节中函数的最大值、最小值的内容。3、根据今天所学的内容，把书32页中习题4重新做严格的数学证明。