直线过定点问题

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1直线过定点问题:(1)取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值,这样就得到关于x,y的两个方程,从中解出x,y即为所求的定点,然后再将此点代入原方程验证即可。例1求直线(m+1)x+(m-1)y-2=0所通过的定点P的坐标。解令m=-1,可得y=-1;令m=1,可得x=1。将(1,-1)点代入原方程得(m+1)·1+(m-1)(-1)-2=0成立,所以该定点P为(1,-1)。(2)由“y-y0=k(x-x0)”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k(x-x0)的形式,这样就证明了它所表示的所有直线必过定点(x0,y0)。例2已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程,求证不论k取任何实数值时,直线l必过定点,并求出这个定点的坐标。证明由已知直线l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k∴(k+1)x-k=(k-1)y+k(k+1)x-k-1=(k-1)y+k-1(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1)即因此当k≠1时,直线l的方程为直线的点斜式y-y0=k(x-x0)的当k=1时,原直线l的方程为x=1综上所述,不论k取任何实数值时,直线l必过定点M(1,-1)。(3)方程思想若方程的解有无穷多个,则方程的系数均为0,利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程,然后利用系数为零求得。例3若2a-3b=1(a,b∈R),求证:直线ax+by=5必过定点。解由已知得ax+by=5(2a-3b),即a(x-10)+b(y-15)=0无论a,b为何值上式均成立,所以a,b的系数同时为0。(4)直线系观点过定点的直线系A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示通过两直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2∶A2x+B2y+C2=0交点的直线系,而这交点即为直线系所通过的定点。例4求证对任意的实数m,直线(m-1)x+2(m-1)y=m-5必过定点。解原式可整理为(x+2y-1)m-(x+y-5)=0

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