随机变量及其分布测试题

随机变量及其分布综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．42．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝()A．2B．8C．18D．203．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和454，则n、p的值分别是()A．50，14B．60，14C．50，34D．60，34.4．某次语文考试中考生的分数X～N(90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是()A．68.26%B．95.44%C．99.74%D．31.74%5．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（）Ａ．甲学科总体的方差最小Ｂ．丙学科总体的均值最小Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同6．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为（）Ａ．abＢ．abＣ．1abＤ．1ab7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为()A．0.9B．0.2C．0.7D．0.58．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为()A．恰有1只是坏的B．4只全是好的C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的9．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2.又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为()A.53B.73C.113D．310．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．)11．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.12．一离散型随机变量X的概率分布列为X0123P0.1ab0.1且E(X)＝1.5，则a－b＝________.13．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望(均值)E(ξ)________(结果用最简分数表示)14.在高三某个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B5，14，则P(X＝k)＝Ck514k·345－k取最大值时k的值为________15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．17．(本题满分12分)9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．(1)求甲坑不需要补种的概率；(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；(3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．18．(本题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的均值．19．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．20.(本题满分13分)坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．21．(本题满分14分)(2010·山东理，20)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.参考答案一、选择题：1、D2、C3、B4、B5、A6、B7、D8、C9、D10、C二、填空题：11、50312、013、4714、115、②④三、解答题：16.[解析]取球次数X是一个随机变量，X的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X的均值和方差，可先求X的分布列．P(X＝1)＝15＝0.2，P(X＝2)＝45×14＝0.2，P(X＝3)＝45×34×13＝0.2，P(X＝4)＝45×34×23×12＝0.2，P(X＝5)＝45×34×23×12×11＝0.2.于是，我们得到随机变量X的分布列X12345P0.20.20.20.20.2由随机变量的均值和方差的定义可求得：E(X)＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，D(X)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.17.[解析](1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875.(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为C13×78×182≈0.041.(3)因为3个坑都不需要补种的概率为783，所以有坑需要补种的概率为1－783≈0.330.18.[解析]分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3.Ⅰ.设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P(E)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.Ⅱ.解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，所以X～B(3,0.3)，故E(X)＝np＝3×0.3＝0.9.解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3，所以P(X＝0)＝(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441，P(X＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189，P(X＝3)＝0.33＝0.027.于是，E(X)＝1×0.441＋2×0.89＋3×0.027＝0.9.19.[解析](1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)＝A33C25A44＝140.即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)＝A44C25A44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)＝1－P(E)＝910.(3)随机变量X可能取的值为1,2，事件“X＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(X＝2)＝C25A33C25A44＝14.所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝34，X的分布列为：X12P341420.[解析]设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝A25＝20.又μ(A)＝A13×A14＝12.于是P(A)＝μ(A)μ(Ω)＝1220＝35.(2)因为μ(AB)＝A23＝6，所以P(AB)＝μ(AB)μ(Ω)＝620＝310.(3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.解法二：因为μ(AB)＝6，μ(A)＝12，所以P(B|A)＝μ(AB)μ(A)＝612＝12.21.[解析](1)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的概率为1－14×12＋14×12×23＋34×12×23＝1324.(2)ξ可能取2,3,4，则P(ξ＝2)＝14×12＝18；P(ξ＝3)＝34×12×13＋34×12×23＝38；P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－18－38＝12，所以ξ的分布列为ξ234P(ξ)183812数学期望E(ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.