3.1矩阵的概念与运算

第三章矩阵§3.1矩阵的概念与运算1.矩阵的概念2.矩阵的运算一、矩阵的概念引例1设变量y1,y2,,ym能用变量x1,x2,,xn线性表示,即nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111(1)其中aij为常数(i=1,2,,m;j=1,2,,n)这种从变量x1,x2,,xn到变量y1,y2,,ym的变换称为线性变换.则线性变换(1)与数表(2)存在着一一对应关系.线性变换(1)中的系数按方程的顺序可排成m行n列的一张数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211(2)方程组(3)的解取决于系数与常数项,而系数与常数项按方程的顺序也可排成如下m行n+1列的数表引例2一般线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(3)则线性方程组(3)与数表(4)也构成一一对应关系.因此,对线性变换(1)和线性方程组(3)的研究可转化成对数表(2)与数表(4)的研究.为此下面引进矩阵的概念.mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211(4)称为mn矩阵.简记为A=(aij)mn或A=(aij).其中aij称为矩阵A的第i行第j列的元素定义1由mn个数aij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)排成m行n列的数表nmmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.是一个3阶方阵,是数表.1.方阵当行数与列数都等于n时,矩阵A称为n阶方阵.几类特殊矩阵:例如600540321是数600540321=242.行矩阵、列矩阵只有一行的矩阵A=(a1a2an)1n称为行矩阵,有时也称为行向量.对一般的mn矩阵可构成m个行阵,n个列阵.只有一列的矩阵称为列矩阵,有时也称为列向量.121mmbbbA是零矩阵.元素都是零的矩阵称为零矩阵,记为O.3.零矩阵如4200000000矩阵(aij)mn称为矩阵A=(aij)mn的负矩阵,记作A4.负矩阵5.相等矩阵若,212222111211nmmnmmnnaaaaaaaaaA.212222111211nmmnmmnnbbbbbbbbbBaij=bij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)A=B1.矩阵的加法定义3设有两个mn矩阵A=(aij),B=(bij).则矩阵A与B的和记作A+B,规定为二、矩阵的运算mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111A+B=(aij+bij)mn矩阵的加法满足:(1)交换律:A+B=B+A(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=A(4)A+(A)=O可定义矩阵的减法:AB=A+(B)2.数与矩阵相乘定义4数与矩阵A=(aij)mn的乘积记作A或A,规定为mnmmnnaaaaaaaaa212222111211A=A=(aij)mn例如654321212108642987654321222应为:又如:18161412108642987654321218161412108642但是18161412108642987654321222注:数与矩阵的乘法和数与行列式的乘法是不同的矩阵的数乘满足:(1)(kl)A=k(lA)(2)k(A+B)=kA+kB(3)(k+l)A=kA+lA例1已知,233224,430212BA且A3X=B,求X.解:A3X=B)(31BAX2433302221)4(2312010123.矩阵与矩阵相乘定义5一般,,212111211smmsmmisiisaaaaaaaaaA,11111nssnsjsnjbbbbbbB则称C为A与B的乘积.记C=AB,或AmsBsn=Cmn.111111nmmnmjminijinjcccccccccC若cij=ai1b1j+ai2b2j++aisbsj(i=1,2,,m;j=1,2,,n)skkjikba1矩阵A与B的乘积的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对应元素乘积之和注意:左阵的列数=右阵的行数.否则,“AB”无意义.例1设,121113121430,415003112101BA求AB解:101726210765AB例2如果A=(aij)mn是一线性方程组的系数矩阵,而分别是未知量与常数项所成的n1与m1矩阵,那么线性方程组可表示成矩阵方程:AX=BmnbbbBxxxX2121,例3设,求AB与BA解:AB000000100,100000000BA000000000000000100100000000BA000000100100000000000000100可见,矩阵乘法不满足交换律.即一般ABBA(1)AB有意义时,BA不一定有意义例如,87654321,120110124321BAAB有意义,而BA无意义(2)即使AB与BA都有意义,但它们的行数与列数不一定相同AB是33矩阵例如,121113121430,415003112101BA,而BA是44矩阵(3)AB与BA都有意义,它们的行数与列数相同,但也不一定相等例如,000000100,100000000BA000000000AB000000100,BA矩阵的乘法不满足消去律.即由AC=BC不能得出A=B或由AB=AC不能得出B=C例如,1000,0100,0001CBA0000BCACAB但BC,AB两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.则由AB=O不能得出A=O或B=O000000000000000100100000000矩阵的乘法满足:(1)结合律:(AB)C=A(BC)(2)分配律:A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA(3)k(AB)=(kA)B=A(kB)定义6把矩阵A=(aij)mn的行列互换得到的nm矩阵,称为A的转置矩阵,记作A或ATmnmnnnmmaaaaaaaaa2122212121114.矩阵的转置Tnmmnmmnnaaaaaaaaa212222111211矩阵的转置满足:(1)(A)=A(2)(A+B)=A+B(3)(kA)=kA(4)(AB)=BA(AB)(ABC)=CBA5.对称矩阵设A为n阶方阵,如果满足A=A,即aij=aji(i,j=1,2,,n),则称A为对称矩阵.例如,10974986376524321A例2设A、B均为n阶对称矩阵,证明:AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA.[证]必要性∵AB是对称矩阵AB=(AB)又∵A=A,B=B,=BAAB=BA充分性∵AB=BA(AB)=(BA)=AB=ABAB是对称矩阵6.共轭矩阵性质:如果A=(aij)为复矩阵时,用表示aij的共轭复数,记.则称为A的共轭矩阵.ija)(ijaAABABA)1((其中为复数)AA)2(BAAB)3(