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第1页（共19页）2017-2018学年四川省成都七中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）数列﹣1，…的一个通项公式为（）A．B．C．D．2．（5分）已知＝（cos75°，sin15°），＝（cos15°，sin75°），则的值为（）A．0B．C．D．13．（5分）在△ABC中，AB＝4，BC＝3，CA＝2，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．（5分）以下不等式正确的是（）A．（x﹣3）2＜（x﹣2）（x﹣4）B．x2+y2＞2（x+y﹣1）C．2+＞4D．＞5．（5分）两平行直线3x+4y﹣1＝0与6x+ay+18＝0的距离为（）A．B．2C．D．16．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为（0，4），则实数m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（）A．x﹣y+1＝0或3x﹣2y＝0B．x+y﹣5＝0C．x﹣y+1＝0D．x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝08．（5分）一个棱长为5cm的表面涂为红色的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，则两面涂色的小正方体的个数为（）A．12B．24C．36D．489．（5分）如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①AF与BM成60°角．②AF与CE是异面直线．③BN⊥DE．④平面ACN∥平面BEM．以上四个命题中，正确命题的个数是（）第2页（共19页）A．4B．3C．2D．110．（5分）已知数列{an}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为a，b，c，则下列说法错误的是（）A．若{an}是等差数列，则3b﹣3a＝cB．若{an}是等差数列，则a，b﹣a，c﹣b也为等差数列C．若{an}是等比数列，则a2+b2＝ab+bcD．若{an}是等比数列，则a，b﹣a，c﹣b也为等比数列11．（5分）已知直线l过点P（1，3），交x轴，y轴的正半轴分别为A，B两点，则⋅的最大值为（）A．6B．3C．﹣3D．﹣612．（5分）在锐角三角形ABC中，sinA＝kcosBcosC（k为常数），则tanBtanC的取值范围是（）A．（0，k]B．（0，1）C．（1，]D．（k，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上）13．（5分）已知△ABC中，A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），则BC边上的高所在直线的方程为；14．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2＝2an，则an＝；15．（5分）某几何体为长方体的一部分，其三视图如图，则此几何体的体积为；第3页（共19页）16．（5分）在平面四边形ABCD中，CD＝6，对角线BD＝8，∠BDC＝90°，sinA＝，则对角线AC的最大值为．三、解答题（17题10分，18～22每小题10分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{an}是等差数列，a1＝3，前三项和为15．数列{bn}是等比数列，公比为2，前五项和为62．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{an+bn}的前n项和．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，acosA＝bcosB．（1）求cosA的值；（2）若a＝5，求△ABC的面积．19．（12分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向西行，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶10km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°．（注：山高CD⊥平面ABC）．（1）求直线DA与平面ABC所成角的正切值；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．第4页（共19页）20．（12分）如图，已知直线l1∥l2，A为l1，l2之间的定点，并且A到的l1，l2距离分别为2，3，点B，C分别是直线l1，l2上的动点，使得∠BAC＝α．过点A做直线DE⊥l1，交l1于点D，交l2于点E，设∠ACE＝θ．（1）当α＝90°时，求△ABC面积的最小值；（2）当α＝60°时，求△ABC面积的最小值．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝1，BF＝4，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上．（1）求证：平面B′CD⊥平面B′HD；（2）求证：A′D∥平面B′FC；（3）求直线HC与平面A′ED所成角的正弦值．22．（12分）已知数列{an}是正项数列，满足（a1+a2+…+an）2＝++…．（1）求数列{an}的通项公式；第5页（共19页）（2）求证：数列{}的前n项和Tn＜；（3）若0＜λ＜1，bn＝，求证：第6页（共19页）2017-2018学年四川省成都七中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）数列﹣1，…的一个通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：设此数列的通项公式为an，∵奇数项为负，偶数项为正数，∴符号为（﹣1）n．每一项的绝对值为，故其通项公式公式为an＝．故选：A．2．（5分）已知＝（cos75°，sin15°），＝（cos15°，sin75°），则的值为（）A．0B．C．D．1【解答】解：＝（cos75°，sin15°），＝（cos15°，sin75°），则＝cos75°cos15°+sin15°sin75°＝cos（75°﹣15°）＝cos60°＝．故选：B．3．（5分）在△ABC中，AB＝4，BC＝3，CA＝2，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解答】解：在△ABC中，由AB＝4，BC＝3，CA＝2，可知∠C为最大角，∵cosC＝＜0，∴△ABC为钝角三角形．故选：C．4．（5分）以下不等式正确的是（）A．（x﹣3）2＜（x﹣2）（x﹣4）B．x2+y2＞2（x+y﹣1）C．2+＞4D．＞第7页（共19页）【解答】解：A．（x﹣3）2﹣（x﹣2）（x﹣4）＝1＞0，（x﹣3）2＞（x﹣2）（x﹣4），因此不正确；B．x2+y2﹣2（x+y﹣1）＝（x﹣1）2+（y﹣1）2≥0，因此不正确；C.﹣4＝﹣2＝﹣＜0，∴＜4，因此不正确；D．∵﹣＝7+10+2﹣（3+14+2）＝2（﹣）＞0，∴＞，可得：+＞+．因此正确．故选：D．5．（5分）两平行直线3x+4y﹣1＝0与6x+ay+18＝0的距离为（）A．B．2C．D．1【解答】解：两平行直线3x+4y﹣1＝0与6x+ay+18＝0，可得a＝8，所以：两平行直线3x+4y﹣1＝0与3x+4y+9＝0的距离为：＝2．故选：B．6．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为（0，4），则实数m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：关于x的不等式﹣x2+2x＞mx可化为﹣x2+（2﹣m）x＞0，即x[x﹣（4﹣2m）]＜0，不等式对应方程的两根为0和4﹣2m，令4﹣2m＝4，解得m＝0．故选：B．7．（5分）过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（）A．x﹣y+1＝0或3x﹣2y＝0B．x+y﹣5＝0C．x﹣y+1＝0D．x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0【解答】解：过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距互为相反数，当横截距a＝0时，纵截距b＝0时，第8页（共19页）直线过点P（2，3），（0，0），∴直线方程为，即3x﹣2y＝0．当横截距a≠0时，纵截距b＝﹣a，直线方程为＝1，∵直线过点P（2，3），∴直线方程为＝1，解得a＝﹣1，∴直线方程为﹣x+y＝1，即x﹣y+1＝0．综上，所求直线方程为x﹣y+1＝0或3x﹣2y＝0．故选：A．8．（5分）一个棱长为5cm的表面涂为红色的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，则两面涂色的小正方体的个数为（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：根据题意，这个正方体的一共可以分成5×5×5＝125个棱长为1cm的小正方体，其中位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，总共有3×12＝36个；故选：C．9．（5分）如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①AF与BM成60°角．②AF与CE是异面直线．③BN⊥DE．④平面ACN∥平面BEM．以上四个命题中，正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：展开图复原的正方体ABCD﹣EFMN如图，第9页（共19页）由正方体ABCD﹣EFMN的结构特征，得：①由AN∥BM，可得AF与BM所成角即为∠NAF，在等边三角形NAF中，∠NAF＝60°，故①正确；②由异面直线的判定可得AF与CE是异面直线，故②正确；③由ED⊥AN，ED⊥AB可得ED⊥平面ABN，即有BN⊥DE，故③正确；④由AC∥EM，AN∥BM，以及面面平行的判定定理可得平面ACN∥平面BEM，故④正确．故选：A．10．（5分）已知数列{an}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为a，b，c，则下列说法错误的是（）A．若{an}是等差数列，则3b﹣3a＝cB．若{an}是等差数列，则a，b﹣a，c﹣b也为等差数列C．若{an}是等比数列，则a2+b2＝ab+bcD．若{an}是等比数列，则a，b﹣a，c﹣b也为等比数列【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：a，b﹣a，c﹣b也成等差数列．∴2（b﹣a）＝a+c﹣b，则3b﹣3a＝c，故A，B正确；由等比数列的前n项和公式的性质可得：a，b﹣a，c﹣b也成等比数列，∴（b﹣a）2＝a（c﹣b），即a2+b2＝ab+ac，故C错误，D正确．∴说法错误的是C．故选：C．11．（5分）已知直线l过点P（1，3），交x轴，y轴的正半轴分别为A，B两点，则⋅的最大值为（）A．6B．3C．﹣3D．﹣6【解答】解：设直线l方程为y＝k（x﹣1）+3＝kx﹣k+3，第10页（共19页）∴A（1﹣，0），B（0，3﹣k），∴＝（﹣，﹣3），＝（﹣1，﹣k），∴＝+3k，∵直线l与x轴，y轴的正半轴相交，∴k＜0，∴+3k≤﹣2＝﹣6，当且仅当﹣＝﹣3k即k＝﹣1时取等号．故选：D．12．（5分）在锐角三角形ABC中，sinA＝kcosBcosC（k为常数），则tanBtanC的取值范围是（）A．（0，k]B．（0，1）C．（1，]D．（k，]【解答】解：由sinA＝kcosBcosC，得sin（B+C）＝kcosBcosC，即sinBcosC+cosBsinC＝kcosBcosC，两边同除以cosBcosC，得k＝tanB+tanC，∵tanB＞0，tanC＞0，∴k＝tanB十tanC≥，即tanAtanB≤，又B+C∈（，π），∴tan（B十C）＝＜0，即1﹣tanBtanC＜0，则tanBtanC＞1．∴tanBtanC∈（1，]，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上）13．（5分）已知△ABC中，A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），则BC边上的高所在直线的方程为3x﹣5y+15＝0；【解答】解：kBC＝＝﹣，可得BC边上的高所在直线的斜率为．∴BC边上的高所在直线的方程为：y﹣0＝（x+5），化为：3x﹣5y+15＝0．故答案为：3x﹣5y+15＝0．第11页（共19页）14．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2＝2an，则an＝2n；【解答】解：∵sn+2＝2an，∴当n＝1时，a1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，an＝sn﹣sn﹣1＝（2an﹣2）﹣（2an﹣1﹣2）＝2an﹣2an﹣1，∴an＝2an﹣1，∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2•2n﹣1＝2n，当n＝1时，也成立，∴an＝2n．故答案为：2n．15．（5分）某几何体为长方体的一部分，其三视图如图，则此几何体的体积为；【解答】解：由题目所给的几