教学目标掌握空间元素的垂直关系的判定方法与性质...

第1页空间元素的位置关系(2)-----垂直【教学目标】掌握空间元素的垂直关系的判定方法与性质定理，并能运用这些知识解决与垂直有关的问题。【教学重点】空间线线、线面、面面垂直关系的相互转化是重点。【教学难点】线面垂直关系、线线垂直关系的判定。【教学过程】一.课前预习1．（05天津）设、、为平面，lnm、、为直线，则m的一个充分条件是()。(A)lml,,(B),,m(C)m,,(D)mnn,,2．（05浙江）设、为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么（）。(A)①是真命题，②是假命题(B)①是假命题，②是真命题(C)①②都是真命题(D)①②都是假命题3．（05重庆）对于不重合的两个平面与，给定下列条件：①存在平面，使得、都垂直于；②存在平面，使得、都平行于；③内有不共线的三点到的距离相等；④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，其中，可以判定与平行的条件有（）。A．1个,B．2个,C．3个,D．4个4．如图，三棱锥S-ABC的底面是等腰直角三角形ABC，∠ACB=90º，S在以AB为直径的半圆上移动，当半平面与底面垂直时，对于棱SC而言下列结论正确的是（）A有最大值，无最小值；B有最小值，无最大值；C无最大值，也无最小值；D是一个定值5．正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为自变量x,则相邻两侧面所成二面角的余弦值f(x)与x之间的函数解析式是（）A.2)(22xxxfB222)(xxxfC.2)(22xxxfD.)(xfx336．设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，那么下列条件中，能第2页保证“xz,且yz,则x∥y”为真命题的是___________（填上所有正确的代号）。(1)x为直线，y,z为平面；(2)x,y,z均为平面；(3)x,y为直线，z为平面；(4)x,y为平面，z为直线；(5)x,y,z均为直线。二.梳理知识直线与平面的垂直是联系直线与直线垂直，平面与平面垂直的纽带，更是求有关角，距离的重要方法。重要判定定理(1)一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直(线面垂直判定定理)(2)平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这个平面互相垂直(面面垂直判定定理)(3)三垂线定理及其逆定理三．典型例题选讲例1．（05江西）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为4。例2．（05浙江）如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)当k＝21时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；(Ⅱ)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？D1C1B1A1EDCBADOABCP第3页例3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点。（1）求证：PB//平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角A－PC－D的正切值；（4）当ADAB为何值时，PB⊥AC？备用题例．（05湖北）如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点奎屯王新敞新疆（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离。四、巩固练习1.如图正方体ABCD－A1B1C1D1,在它的12条棱及12条面对角线所在直线中，选取若干条直线确定平面。在所有这些平面中：（1）过B1C且与BD平行的平面有且只有一个；（2）过B1C且与BD垂直的平面有且只有一个；（3）BD与过B1C的平面所成的角等于30º.上述命题中是真命题的个数为()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个2.如图，在正三棱锥P—ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是（）A．23B．2C．25D．363.如图P是四边形ABCD所在平面外一点，O是AC与BD的交点，且PO⊥平面ABCD。当四边形ABCD具有条件______________________时，点P到四边形四条边的距离相等。（注：填上你认为正确的一种条件．．．．即可。不必考虑所有可能的情况。）4.已知m、l是异面直线，那么：①必存在平面α过m且与l平行；②D11C1A1B1DCABPEDCBAEABDCP第4页必存在平面β过m且与l垂直；③必存在平面γ与m、l都垂直；④必存在平面π与m、l距离都相等，其中正确的结论为（A.①②B.①③C.②③D.5.如图在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳AM、BN，在MN处栓长为60cm的木条，MN平行于横梁，木条绕过MN中点O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了（）A.10cmB.5cmC.103cmD.53cm6．（05湖南）如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.7．（05福建）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.8．（05辽宁）已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点,△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长。9．（05全国I）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，PADAB,90底面ABCD，且PA=AD=DC=21AB=1，M是PB的中点。（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。10.如图，M、N、P分别是正方体AC1的棱AB、BC、DD1上的点，(1)若NCBNMABM，求证：无证点P在D1D上如何移动总有BP⊥MN；(2)棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC，证明你的结论。图2OEABCPDF第5页参考答案一.课前预习:1D2D3B4D5C6①③④三．典型例题选讲例1、解法（一）（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=5，AD1=2，故.2121,232152211BCAESSACECAD而.31,23121,3131111hhhSDDSVCADAECAECD（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x,,,1,.1,4,211xEHDHERtxDEADERtDHDHDDHDRt中在中在中在.4,32.32543.54,3122的大小为二面角时中在中在DECDAExxxxxxCECBERtCHDHCRt解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111EDDAxEDDA所以因为（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1ACED，)1,0,1(1AD，设平面ACD1的法向量为),,(cban，则,0,01ADnACn也即002caba，得caba2，从而)2,1,2(n，所以点E到平面AD1C的距离为.313212||||1nnEDhHD1C1B1A1EDCBAD1C1B1A1EDCBAoxzy第6页（3）设平面D1EC的法向量),,(cban，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11DDCDxCE由.0)2(02,0,01xbacbCEnCDn令b=1,∴c=2,a=2－x，∴).2,1,2(xn依题意.225)2(222||||||4cos211xDDnDDn∴321x（不合，舍去），322x.∴AE=32时，二面角D1—EC—D的大小为4。例2．解：方法一：(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC中点，ODPA∥PAPAB又平面，ODPAB平面∥(Ⅱ)ABBCOAOC，，OAOBOC，OPABC又平面，.PAPBPCEPEBCPOE取BC中点，连结，则平面OFPEFDFOFPBC作于，连结，则平面ODFODPBC是与平面所成的角.又ODPA∥，PA与平面PBC所成的角的大小等于ODF，210sin,30OFRtODFODFOD在中，210arcsin.30PBCPA与平面所成的角为（Ⅲ）由(Ⅱ)知，OFPBC平面，∴F是O在平面PBC内的射影奎屯王新敞新疆∵D是PC的中点，若点F是PBC的重心，则B，F，D三点共线，∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，,,OBPCPCBDPBPC，即1k奎屯王新敞新疆反之，当1k时，三棱锥OPBC为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为PBC的重心奎屯王新敞新疆方法二：OPABC平面，,OAOCABBC，,,.OAOBOAOPOBOP以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图）奎屯王新敞新疆设,ABa则222,0,0,0,,0,,0,0222AaBC，设OPh，则0,0,Ph(Ⅰ)D为PC的中点，21,0,42ODah，DOBCAPxyz第7页又21,0,,,//22PAahODPAODPA，ODPAB平面∥(Ⅱ)12k，即7272,,,0,222PAahaPAaa，可求得平面PBC的法向量11,1,7n，210cos,30||||PAnPAnPAn，设PA与平面PBC所成的角为，则210sin|cos,|30PAn，（Ⅲ）PBC的重心221,,663Gaah，221,,663OGaah，,OGPBCOGPB平面，又2221120,,,0,2632PBahOGPBahha，22PAOAha，即1k，反之，当1k时，三棱锥OPBC为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为PBC的重心。例3.（1）证明：连DB，设DBACO，则在矩形ABCD中，O为BD中点。连EO。因为E为DP中点，所以，//OEBP。又因为OE平面EAC，PB平面EAC，所以，PB//平面EAC。（2）ABCDCDADCDPADPADABCDADPDCPADCDPDCABCDPAD矩形面面面＝面面面面面正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，AEPD，又PDCPADPD面