教学目标掌握空间元素的平行关系的判定与性质的有...

--第1页空间元素的位置关系(1)-----平行【教学目标】掌握空间元素的平行关系的判定与性质的有关知识，并能运用这些知识解决与平行有关的问题。【教学重点】空间线线、线面、面面平行关系的转化。【教学难点】线面平行的各种判定方法。【教学过程】一.课前预习1．（05北京）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（）。A．BC//平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC2．(05湖北)如图，在三棱柱CBAABC中，点E、F、H、K分别为CA、BC、BA、CB的中点，G为ΔABC的重心奎屯王新敞新疆从K、H、G、B中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()。A．KB．HC．GD．B3．（05广东）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若不共面与则点mlmAAlm,,,；②若m、l是异面直线，nmnlnml则且,,,//,//；③若mlml//,//,//,//则；④若.//,//,//,,,则点mlAmlml其中为假命题的是（）。A．①B．②C．③D．④4．（05辽宁）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若//,,则mm；②若//,,则；③若//,//,,则nmnm；④若m、n是异面直线，//,//,,//,则nnmm其中真命题是（）。A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④5.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是KFHEB'C'ACBA'G--第2页棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只须满足时，就有MN//平面B1BDD1（请填出你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能情况）。二、梳理知识立体几何中的核心内容是空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，实质上是不同层次的平行，垂直关系的相互转化，任何一个问题的解决，都是从已知的某些位置关系转化为所要求证的位置关系，解决问题的过程就是寻求或创造条件完成这些转化。其中直线与平面的平行是联系直线与直线平行，平面与平面平行的纽带，同时也是立体几何中某些角，距离转化的依据；1.线与线、线与面、面与面的位置关系，及其判定定理2.重要判定定理(1)平面外的直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行(线面平行判定定理)(2)平面内两条直交直线与另一个平面平行，则这两个平面互相平行(面面平行判定定理)3.证明直线与平面平行的方法有：依定义采用反证法；判定定理；面面平行的性质定理。三、典型例题例1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点。（1）求证：PB//平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角A－PC－D的正切值；（4）当ADAB为何值时，PB⊥AC？例2．（05天津）如图，在斜三棱柱111CBAABC中，EABDCP--第3页aBAAAACABACAABA1111,,，侧面11BCCB与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱AACB111、的中点（Ⅰ）求AA1与底面ABC所成的角（Ⅱ）证明EA1∥平面FCB1（Ⅲ）求经过CBAA、、、1四点的球的体积例3.如图1，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点。（1）求证：EF⊥GF；（2）求证：MN∥平面EFGH；（3）若AB=2，求MN到平面EFGH的距离。C1B1A1ABCFE--第4页四、巩固练习1、下列命题中，正确的是()A、若直线a平行于平面α内的一条直线b，则a//αB、若直线a垂直于平面α的斜线b在平面α内的射影，则a⊥bC、若直线a垂直于面α，直线b是面α的斜线，则a与b是异面直线D、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥2、设a、b是两条异面直线，P是a、b外的一点，则下列结论正确的是()A、过P有一条直线和a、b都平行,B、过P有一条直线和a、b都相交;C、过P有一条直线和a、b都垂直,D、过P有一个平面与a、b都平行;3．（05山东）已知m、n是不同的直线，,是不重合的平面，给出下列命题：①若//m，则m平行于平面内的任意一条直线奎屯王新敞新疆②若,,//,//,mnmn则//奎屯王新敞新疆③若,,//mnmn,则//奎屯王新敞新疆④若//,,,mn则//mn奎屯王新敞新疆上面命题中，真命题的序号是____(写出所有真命的序号)4.如图所示，直角三角形ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB//α，并且AB与平面α间的距离为6，A与B在α内的射影分别为A1，B1，且A1C=3，B1C=4，则AB=，∠A1CB1=。5、在正方体AC1中选出两条棱和两条面对角线，使这四条线段所在的直线两两都是异面直线，如果我们选定一条面对角线AB1，那么另外三条线段可以是_________(只需写出一种情况)6、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β之外的两条直线，给出四个判断：①m∥n,②α∥β,③m⊥α,④n⊥β以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：___________7．四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形且垂直于底面，又底面ABCD是矩形，E是侧棱PD的中点.（1）求证：PB//平面ACE；（2）若PB⊥AC求PB与底面ABCD所成角的大小.8．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，正是AC中点，(1)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(2)求证：AB1//平面BEC；(3)求直线AB1到平面BEC1的距离。--第5页参考答案：一.课前预习:1C2C3C4D，5点M只须满足在直线EH上时，三、典型例题例1．（1）证明：连DB，设DBACO，则在矩形ABCD中，O为BD中点。连EO。因为E为DP中点，所以，//OEBP。又因为OE平面EAC，PB平面EAC，所以，PB//平面EAC。（2）ABCDCDADCDPADPADABCDADPDCPADCDPDCABCDPAD矩形面面面＝面面面面面正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，AEPD，又PDCPADPD面面，所以，AE⊥平面PCD。（3）在PC上取点M使得14PMPC。由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PDADABDC所以，在等腰直角三角形DPC中，EMPC，连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以，AMPC。所以，AME为二面角A－PC－D的平面角。在RtAEM中，32tan61222AEAMEME。即二面角A－PC－D的正切值为6。（4）设N为AD中点，连接PN，则PNAD。又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD。所以，NB为PB在面ABCD上的射影。要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x则22222111112343xx，解之得：22x。所以，当ADAB2时，PB⊥AC。证法二：（按解法一相应步骤给分）设N为AD中点，Q为BC中点，则因为PAD是正三ONMEABCDP--第6页角形，底面ABCD是矩形，所以，PNAD，QNAD，又因为侧面PAD⊥底面ABCD，所以，PNABCD面，QNPAD面，以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为,,xyz轴如图建立空间直角坐标系。设1AD，ABa，则30,0,2P，1,,02Ba，1,0,02A，1,,02Ca，1,0,02D，13,0,44E。（2）33,0,44AE，13,0,22PD，0,,0DCa，313304242AEPD，0AEDC所以，,AEPDAEDC。又PDDCD，,PDDCPDC面，所以，AE⊥平面PCD。（3）当1a时，由（2）可知：33,0,44AE是平面PDC的法向量；设平面PAC的法向量为1,,xyzn，则1PAn，1ACn，即130220xzxy，取1x，可得：31,3yz。所以，131,1,3n。向量AE与1n所成角的余弦值为：1131744cos73723AEACnn。所以，tan6。又由图可知，二面角A－PC－D的平面角为锐角，所以，二面角A－PC－D--第7页的平面角就是向量AE与1n所成角的补角。其正切值等于6。（4）13,,22PBa，1,,0ACa，令0PBAC，得2102a，所以，22a。所以，当ADAB2时，PB⊥AC。例2．（05天津）解：（Ⅰ）过1A作HA1平面ABC，垂足为H．连结AH，并延长交BC于G，于是AHA1为AA1与底面ABC所成的角．∵ACAABA11，∴AG为BAC的平分线．又∵ACAB，∴BCAG，且G为BC的中点．因此，由三垂线定理BCAA1．∵BBAA11//，且BBEG1//，∴BCEG．于是AGE为二面角EBCA的平面角，即120AGE．由于四边形AGEA1为平行四边形，得601AGA．（Ⅱ）证明：设EG与CB1的交点为P，则点P为EG的中点．连结PF．在平行四边形1AGEA中，因F为AA1的中点，故FPEA//1．而FP平面FCB1，EA1平面FCB1，所以//1EA平面FCB1．（Ⅲ）连结CA1．在ACA1和ABA1中，由于ABAC，ACAABA11，AAAA11，则ACA1≌ABA1，故BACA11．由已知得aCABAAA111．又∵HA1平面ABC，∴H为ABC的外心．PC1B1A1ABCFEGHO--第8页设所求球的球心为O，则HAO1，且球心O与AA1中点的连线AAOF1．在FOARt1中，3330cos21cos111aaHAAFAOA．故所求球的半径aR33，球的体积33273434aRV。例3.解（1）如图2，作GQ⊥B1C1于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ，由三垂线定理得EF⊥GF。（2）连DG和EG。∵N为CL的中点，由正方形的对称性，N也为DG的中点。在△DEG中，由三角形中位线性质得MN∥EG，又EG平面EFGH，MN平面EFGH，∴MN∥平面EFGH。（3）图3为图2的顶视图。连NH和NE。设N到平面EFGH的距离为h，∵VE—NGH=VN—HEG∴31·AA1·S△NHG=31·h·S△HEG2·1622=h·21·EH·HG又∵EH=222121=6,HG=2∴21=h·21·6·2，h=63四、巩固练习1、D，2、C，3、③④，4、AB=37，∠A1CB1=1arccos35、A1C1，BC，DD1或BC1，A1D1，DC；6、②③④①或①③④②；7．（1）连BD交AC于D，∵ABCD的矩形，∴O为BD的中点，又E为PD的--第9页中点，连OE，则OE∥PB.∴PB∥平面ACE……6分；（2）取AD的中点H，∵△PAD为正三角形，则PH⊥AD，又平面PAD⊥底面ABCD.∴PH⊥底面ABC