第一章向量与矩阵的基本运算

第一章向量与矩阵的基本运算向量与矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。其应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关向量与矩阵运算的一些基本规则与技巧。第一节向量与矩阵的基本概念1.定义由n个数构成的有序数组称为n维向量=12n12n（a,a,,a）bb=b一、n维向量：1212(,,...,)(,,...,)(1,2,...,)nniinxxxyyyxyinababab如果两个维向量的对应分量相等，即，则称向量与相等，记为1212(0,0,...,0)(,,...,)(,,...,)nnnxxxxxxx00x分量全为零的维向量称为零向量，记为，即:称向量为向量的负向量，记为12121112(,,...,)(,,...,)(,...,)(,,...,)nnnnnxxxyyyxyxyxxx设规定加法数量乘法xyxyx二、n维向量的运算性质1.2.()()3.4.()5.()()6.()7.()8.1abbaabcabca0aaa0aaaaaababaa1122=nnTkkkbbLLMLM1T212nn1212nn线性组合向量的转置bb（b,b）=bbb（b,b）b12,,,1,0,,00,1,,00,0,,1TnTTTkkkLLLLL12n证明：任意n维向量可由向量组线性表示。1===nTiibbLLM12n1T212nni（a,aa）行向量bb（b,b）=列向量b内积（，）a1.定义由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaa称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaaA一、概念：这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元。以数aij为(i,j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)m×n，m×n矩阵A也记作Am×n。元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称之为n阶方阵，记作An。2.行矩阵、列矩阵与方阵只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。3.同型矩阵与矩阵相等:如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称这两个矩阵相等。记作：A=B4.零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。不同型的零矩阵是不相等的。5.对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵如果n阶方阵除主对角线上的元素不全为零外，其余元素全为零，这样的n阶方阵称为对角矩阵。记作A=diag(λ1,λ2,…,λn)如果n阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1，其余元素全为零，这样的n阶矩阵称为n阶单位矩阵。记作En或E。如果n阶方阵主对角线上的元素全为k，其余元素全为零，这样的n阶矩阵称为n阶数量矩阵。二、矩阵的运算1.矩阵的加法:设有两个同型的m×n阶矩阵A=(aij)、B=(bij)，则矩阵A与B的和记为A+B，并规定111112121121212222221122.....................nnnnmmmmmnmnabababababababababAB注：矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应元素进行相加。矩阵加法的运算律：☞(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)设矩阵A=(aij)，记A=(aij)，称A为矩阵A的负矩阵。由矩阵加法的定义，显然有A+(A)=O，由此，矩阵的减法可定义为ＡB=Ａ+(B)2.矩阵的数乘：数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaaA由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵，并且，是用数λ与矩阵的每一个元素相乘。矩阵数乘的运算律：矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。3.矩阵的乘法：设矩阵A为m×n阶矩阵、矩阵B为n×p阶矩阵，A=(aij)m×n、B=(bij)n×p，则矩阵A与B的乘积为一m×p阶矩阵C=(cij)m×p，记C=AB，且(1)()()(2)()(3)()AAAAAABAB☞11..........................................jiinijnjbaacb112211,2,,()1,2,,ijijijinnjnikkjkcabababimabjp就是说，矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。☞(1)()()(2)()()()(3)()()(4)mmnmnmnnmnABCABCABABABABCABACBCABACAEAAAEA☞矩阵A与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；☞矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；☞AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定相等；☞AB=O不一定有A=O或B=O；A(XY)=O且A≠O也不可能一定有X=Y111111112222.ABABBAABABBAO0如：显然有：矩阵乘法不满足交换律与结:消去律总只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm(3)(AB)k≠AkBk()nnnAAAA为正数4.矩阵的乘幂：设A是n阶方阵，定义：显然，A与f(A)可交换，即Af(A)=f(A)A设g(x),h(x)是两个多项式，l(x)=g(x)+h(x),m(x)=g(x)h(x)则l(A)=g(A)+h(A),m(A)=g(A)h(A)22()345()345fxxxfAAAEA则为方阵的一个多项式4.矩阵多项式：设A是n阶方阵5.矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。如果A是一个m×n阶矩阵，那么AT就是一个n×m阶矩阵。且A的行一定就是AT中同序数的列T141232545636AATTTTTTTTTT(1)()(2)()(3)()(4)()AAABABAAABBA☞证明：设矩阵A为m×s阶矩阵，矩阵B为s×n阶矩阵，那么：(AB)T与BTAT是同型矩阵；又设C=AB，因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故(AB)T=ATBT2.上(下)三角矩阵：10...00...001...00...0........................00...100...kkkkkE1112111222212212...0...00......0...........................00...nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa1.数量矩阵：矩阵kE称为数量矩阵。三、几类特殊的矩阵3.行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个m×n阶矩阵A=(aij)它的第i行的第一个非零元素记为,如果当ik时,有jijk时，称A为行阶梯矩阵。若矩阵B满足以下条件(1)B是行阶梯矩阵；(2)B的每一非零行的第一个非零元素为1；(3)每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵B为行最简矩阵。iija230015007820000109000000A130015001020000109000000B4.对称矩阵与反对称矩阵：设A为n阶方阵，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为对称矩阵；若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为反对称矩阵。5.正交矩阵：若n阶方阵A满足AAT=ATA=E称A为正交矩阵。6.幂等、幂零、幺幂矩阵：若n阶方阵A满足：A2=A，称A为幂等矩阵Ak=O，称A为幂零矩阵Ak=E，称A为幺幂矩阵7.伴随矩阵：设A=(aij)n×n，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵11211*1222212.....................nnnnnnAAAAAAAAAA称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊**(det)AAAAAE伴随矩阵有如下重要性质：T11123123nABCABC设，，，求例11123112332...()()...()()...()111123233111123132123331nnnnCCCCABABABABABABBAC而所以：解：TTTTTTTTTT()()nABABABAABABBABBABBAB设、为阶矩阵，且为对称矩阵，证明，仍是对称矩阵。因为，所以证故是对阵：。明称矩例2.TTTTTTTTT()()()nABABABBAABABABABBAAABBABBABAABBAAB设、都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵而，又，所以有：故是为对称矩阵证明：的充要条件.例3.TT12TTTTTTTTT2T2TT2TT(,,...,)2(2)(2)2(2)44()44()(4nxxxnXXXEHEXXHHHEHEXXEXXEXXHHHHEXXEXXXXEXXXX设列矩阵满足=1,为阶单位矩阵，,证明是对称：矩证阵，且=明例.TTTTTT)44()44XXEXXXXXXEXXXXE第三节矩阵的分块本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。111213142122232431323334aaaaaaaaaaaaAA例如，设矩阵，将矩阵分成子块的形式有很多种，下面就是三种不同111213142122232431323334111213141112131421222324212223243132333431323334111221221)2)3)1)aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAAAA的分块形式：在分块形式中，其中11111212131423242122212231323334,aaaaaaaaaaaaAAAA，，1112111121212222122212