成人高考专升本高数(二)复习资料大全200多页

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

1 第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:y=f(x),x∈D定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:îíìÎÎ= 2 1 ) ( ) ( D x x g D x x f y 3.隐函数:F(x,y)=04.反函数:y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的;则它必定存在反函数:y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D当x1<x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加();若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少();若f(x1)<f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加();若f(x1)>f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称偶函数:f(-x)=f(x)奇函数:f(-x)=-f(x)3.函数的周期性:周期函数:f(x+T)=f(x),x∈(-∞,+∞)周期:T——最小的正数4.函数的有界性:|f(x)|≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数:y=c,(c为常数)2.幂函数:y=xn,(n为实数)3.指数函数:y=a x,(a>0、a≠1)4.对数函数:y=logax,(a>0、a≠1)5.三角函数:y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotx2 y=secx,y=cscx6.反三角函数:y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣复合函数和初等函数1.复合函数:y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数。二、例题分析例1.求下列函数的定义域:⑴ 2 1 1 ) ( 2+--= x x x f 解:对于 2 1 1 x-有: 2 1 x-≠0 解得: x ≠±1 对于 2+ x 有: 2+ x ≥0 x ≥-2 ∴ ) (x f 的定义域:[)()()+¥---Π, 1 1 , 1 1 , 2 UU x ⑵() x x f-= 2 ln 1 ) ( 解: 由() x- 2 ln 1 得:() 0 2 ln¹-x ,解得: 1¹ x 由() x- 2 ln 得:() x- 2 >0 , x <2 ∴ ) (x f 的定义域:()() 2 , 1 1 , U¥-Πx 例 2.设 f(x)的定义域为(­1,1)则 f(x+1) 的定义域为 A.(­2,0),  B.(­1,1),  C.(0,2),  D.[0,2]  [ ] 解:∵­1<x+1<1 ∴ ­2<x<0 即 f(x+1) 的定义域为: x∈(­2,0)3 应选 A. 例 3.下列 f(x)与 g(x)是相同函数的为 A. x x f= ) ( ,() 2 ) ( x x g= B. 2 ) ( x x f=, x x g= ) ( C. 2 ln ) ( x x f=, x x g ln 2 ) (= D. x x f ln ) (=, x x g ln ) ( 2 1= [  ] 解:A.()+¥¥-= , ) (f D ,[)+¥= , 0 ) (g D B.()+¥¥-= , ) (f D ,()+¥¥-= , ) (g Dîíì£-== 0 0 ) ( 2 x x x x x x fîíì£-== 0 0 ) ( x x x x x x g 应选 B C.()()+¥¥-= , 0 0 , ) ( U f D ,()+¥= , 0 ) (g D D.()+¥= , 0 ) (f D ,()()+¥¥-= , 0 0 , ) ( U g D4 例 4.求 ) 3 ( log 2++= x y a , ) 1 , (¹ a a 的反函数及其定义域。解:∵ ) 3 ( log 2++= x y a , ) 1 , (¹a a ∴()+¥-Π, 3 x ,()+¥¥-Π, y ∵在(­3,+∞)内,函数是严格单调的 3 2-=- y a x ∴反函数: 3 ) ( 2 1-==-- x a x f y()()+¥-Î+¥¥-Π, 3 , y x 例 5.设[] 0 , 1 , 1 ) ( 2-Î-= x x x f 则其反函数=- ) ( 1 x f 。解:∵[][] 1 , 0 , 0 , 1 , 1 2Î-Î-= y x x y 在[] 0 , 1-内 ) (x f 是严格单调增加的∴ 2 1 y x-±=又∵[] 0 , 1-Πx ∴取 2 1 y x--=5 即: 2 1 1 ) ( x x f y--==-[][] 0 , 1 , 1 , 0-ÎΠy x (应填 2 1 x--)例6.设函数 ) (1 x f 和 ) (2 x f 是定义在同一区间 ) (f D 上的两个偶函数,则 ) ( ) ( 2 1 x f x f-为函数。解:设 ) ( ) ( ) ( 2 1 x f x f x F-=∵ ) ( ) ( ) ( 2 1 x f x f x F---=- = ) ( ) ( ) ( 2 1 x F x f x f=-∴ ) ( ) ( 2 1 x f x f-是偶函数(应填“偶”)例 7. 判断 ) 1 ln( ) ( 2 x x x f++=的奇偶性。解: ∵ ] ) ( 1 ln[ ) ( 2 x x x f-++-=- ) 1 ln( 2 x x++-=6 2 2 2 1 ) 1 )( 1 ( ln x x x x x x++++++-= 2 2 2 2 1 1 ln 1 1 ln x x x x x x++=++++-= 1 2 ) 1 ln(-++= x x ) ( ) 1 ln( 2 x f x x-=++-=∴ ) (x f 为奇函数例8.设 x x fw cos ) (=,则 ) (x f 的周期为。解法一: 设 ) (x f 的周期为 T, ) cos( )] ( cos[ ) ( T x T x T x f=+=+ = x x fw cos ) (=∴() x T x cos cos=+而() u u cos 2 cos=+p7 ∴pw 2= T ,∴wp 2= T 解法二:∵ x x fw cos ) (= ) 2 cos(pw+= x ) 2 ( coswpw+= x ) 2 (wp+= x f ∴wp 2= T (应填wp 2 ) 例 9. 指出函数 ) 1 sin( ln ) (+= x x f 那是由些简单函数复合而成的?解:令 ) 1 sin( ln+= x u ,则 u u f= ) ( ) 1 sin(+= x v ,则 v u ln= 1+= x w ,则 w v sin=∴ ) (x f 是由: u u f= ) ( , v u ln=, w v sin=, 1+=x w 复合而成的。例 10. 已知 x e x g x x f== ) ( , ) ( 3 ,则 )] ( [ x g f 等于8 A. x e 3 ,  B. 3x e ,  C. 3 x e ,  D. 3e x [ ] 解: ∵ x e x g x x f== ) ( , ) ( 3 ∴ x x x e e e f x g f 3 3) ( ) ( )] ( [===或 x x e e x g x g f 3 3 3 ) ( )] ( [ )] ( [===(应选 A)例 11. 已知 x x f x x f=+= )] ( [ ), 1 ln( ) (j求 ) (xj的表达式。解:∵ x x x f=+= )] ( 1 ln[ )] ( [jj解得 x e x=+ ) ( 1j∴ 1 ) (-= x e xj§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念 1. 数列的极限: A y n n=¥® lim 称数列{} n y 以常数 A为极限; 或称数列{} n y 收敛于 A. 定理: 若{} n y 的极限存在Þ{} n y 必定有界.9 2.函数的极限:⑴当¥® x 时, ) (x f 的极限: A x f A x f A x f x x x=Û÷÷øö==¥®+¥®-¥® ) ( lim ) ( lim ) ( lim ⑵当 0 x x®时, ) (x f 的极限: A x f x x=® ) ( lim 0 左极限: A x f x x=-® ) ( lim 0 右极限: A x f x x=+® ) ( lim 0 ⑶函数极限存的充要条件:定理: A x f x f A x f x x x x x x==Û=+-®®® ) ( lim ) ( lim ) ( lim 0 0 0 ㈡无穷大量和无穷小量1.无穷大量:+¥= ) ( lim x f 称在该变化过程中 ) (x f 为无穷大量。X再某个变化过程是指: , , ,¥®+¥®-¥® x x x 0 0 0 , , x x x x x x®®®+-2.无穷小量: 0 ) ( lim= x f10 称在该变化过程中 ) (x f 为无穷小量。3.无穷大量与无穷小量的关系:定理: ) 0 ) ( ( , ) ( 1 lim 0 ) ( lim¹+¥=Û= x f x f x f 4.无穷小量的比较: 0 lim , 0 lim==ba⑴若 0 lim=ab ,则称β是比α较高阶的无穷小量;⑵若 c=ab lim (c为常数),则称β与α同阶的无穷小量;⑶若 1 lim=ab,则称β与α是等价的无穷小量,记作:β~α;⑷若¥=ab lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。定理:若:;, 2 2 1 1 ~ ~baba则: 2 1 2 1 lim limbbaa=㈢两面夹定理1.数列极限存在的判定准则:设: n n n z x y££(n=1、2、3…)11 且: a z y n n n n==¥®¥® lim lim 则: a x n n=¥® lim 2.函数极限存在的判定准则:设:对于点x0 的某个邻域内的一切点(点 x0 除外)有: ) ( ) ( ) ( x h x f x g££且: A x h x g x x x x==®® ) ( lim ) ( lim 0 0 则: A x f x x=® ) ( lim 0 ㈣极限的运算规则若: B x v A x u== ) ( lim , ) ( lim 则:① B A x v x u x v x u±=±=± ) ( lim ) ( lim )] ( ) ( lim[ ② B A x v x u x v x u×=×=× ) ( lim ) ( lim )] ( ) ( lim[ ③ B A x v x u x v x u== ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) 0 ) ( (lim¹ x v 推论:① )] ( ) ( ) ( lim[ 2 1 x u x u x u n±±±L ) ( lim ) ( lim ) ( lim 2 1 x u x u x u n±±±=L② ) ( lim )] ( lim[ x u c x u c×=×12 ③ n n x u x u )] ( [lim )] ( lim[=㈤两个重要极限1. 1 sin lim 0=® x x x 或 1 ) ( ) ( sin lim 0 ) (=® x x xjjj2. e x x x=+¥® ) 1 1 ( lim e x x x=+® 1 0 ) 1 ( lim 二、例题分析例1.求数列LL 4 5 , 3 4 , 2 3 , 1 2 的极限。解:{}{}{} n n n n y 1 1 1+==+() 1 1 lim lim 1=+=¥®¥® n n n n y 例 2.计算 n

1 / 129
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功