矢量基础知识

1矢量分析基础(由于物理学研究的需要而产生了矢量)1.矢量的定义：具有一定的大小和方向，且加法遵从平行四边形法则的量。矢量表示：A,aA印刷体用黑体字母表示：矢量的大小叫矢量的模，用A来表示。长度为零的矢量叫零矢量长度为1的矢量叫单位矢量，记,单位矢量用来表示空间e的方向，,,xyz轴上的单位矢量分别用,,ijk来表示。22.矢量平移的不变性把矢量在空间平移，其大小和方向都不会发生改变。AA物理中矢量总有它的作用点,不同作用点的矢量相互运算,甚至是没有意义的.一些矢量是可以经过平行移动移到一点上再作运算.3矢量在直角坐标中的分矢量,,ijk为三坐标轴的单位矢量xyzAAiAjAk矢量与三个轴的夹角为,,cos,cos,cosyxzAAAAAA3.矢量的正交分解把矢量分解成沿着几个正交单位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四边形法则，又可合成原矢量。yxyAxAoixCAjzzAk4ABBABA4.矢量的加法、减法：矢量的加法应满足平行四边形法则，而减法是加法的逆运算，可用三角形法则；如图所示。一般计算矢量的加法、减法时，对各分量分别相加减：()()()()()xyzxyzxxyyzzAAiAjAkBiBjBkABiABjABkB()()()()()xyzxyzxxyyzzAAiAjAkBiBjBkABiABjABkB55.矢量的数乘以实数乘以矢量称为矢量的数乘，记作，显然有：AA()xyzxyzAAiAjAkAiAjAk实数只是一个系数，矢量的数乘可以看作是把原矢量的模伸缩为原来的倍。的方向为：时，与方向不变；时，与方向相反。A0AA066.矢量的标积和矢积（1）矢量的标积（又称：数量积、点乘、点积、内积）：cosxxyyzzABABABABAB（结果为标量）点积的性质：1）满足交换律ABBA2）满足分配律()ABCACBC3）且可得?iijjkk?ijjijkkjkiik1A,B，则：已知两矢量,两矢量的夹角为07（2）矢量的矢积（又称：叉乘、叉积、外积）：()()()xyzyzzyzxxzxyyxxyzijkABAAAABABiABABjABABkBBB∴矢积的结果为矢量；大小为以A、B为边的平行四边形的面积：BA),sin(BABABA满足右手螺旋法则叉积的性质：1）不满足交换律ABBA2）满足分配律()ABCACBC3）且可得,,;0ijkjkikijii87.矢量对t的导数对矢量函数（简称矢函数），如果极限：)(tfttfttft)()(lim0存在，就称它为矢函数的导数，记作，矢函数的导数仍为矢函数，从而还可像标量函数一样求其二阶导数、高阶导数。)(tfdttfdtf)()()(tf对矢量函数求导数，一般是对它的各个分量分别求导，这时矢量导数就变成了标量函数的求导，但是如果坐标也在变，也必须对单位矢量求导，如自然坐标系中的切向单位矢量和法向单位矢量。98.矢量函数的积分（1）矢量函数对时间积分()()()()xyzdtBtBtBtdtABijk如矢量函数()tBt()xBt()yBt()zBtt将对时间求积分，可改变为，，分别对时间求积分，即，xyzdtABAiAjAk(),xxABtdt(),yyABtdt()zzABtdt10（2）矢量函数对空间坐标积分(,,)xyzBCab对一矢量函数沿某一曲线(起点，终点)求线积分，可写作abCdBsxyzBBBBijkddxdydzsijkxyzdBdxBdyBdzBsababababxyzCCCCdBdxBdyBdzBs