线性代数教案正式打印版

第（1）次课授课时间（）教学章节第一章第一、二、三节学时2学时教材和参考书1.《线性代数》(第4版)同济大学编1.教学目的：熟练掌握2阶,3阶行列式的计算；掌握逆序数的定义,并会计算；掌握n阶行列式的定义；2.教学重点：逆序数的计算；3.教学难点：逆序数的计算.1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；n阶行列式的定义2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。设二元线性方程组22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax令2112221122211211aaaaaaaa,称为二阶行列式,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a12,a22换成常数项b1,b2,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。于是二元方程组的解的公式又可写为DDxDDx2211其中0D例1.解线性方程组.1212232121xxxx同样,在解三元一次方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式243122421D.(-14)例3.求解方程094321112xx（32xx或）例4.解线性方程组.55730422zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112D069556371210再计算321,,DDD515754101121D,315534011222D,55730112123D得23171DDx,69312DDy,6953DDz第二节全排列及其逆序数引例：用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数？一、全排列把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列（简称排列）.可将n个不同元素按n~1进行编号,则n个不同元素的全排列可看成这n个自然数的全排列.n个不同元素的全排列共有!n种.二、逆序及逆序数逆序的定义：取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时,则称有一个逆序.通常取从小到大的排列为标准排列,即n~1的全排列中取nn)1(123为标准排列.逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列.例1:讨论3,2,1的全排列.全排列123231312132213321逆序数022113奇偶性偶奇逆序数的计算：设nppp21为nn)1(123的一个全排列,则其逆序数为niinttttt121.其中it为排在ip前,且比ip大的数的个数.例2：求排列54321的逆序数.解：niittttttt15432.10,4,3,2,1,0(对于逆序数的计算介绍另一种算法)第三节n阶行列式的定义下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式.二阶行列式2112221122211211aaaaaaaa21212112221122211211)1(pptaaaaaaaaaa.其中：①21pp是2,1的全排列,②t是21pp的逆序数,③是对所有2,1的全排列求和.三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa其中:①321ppp是3,2,1的全排列,②t是321ppp的逆序数,③是对所有3,2,1的全排列求和..)1('32133323123222113121121nppptaaaaaaaaaaaa其中:①nppp21是n,,2,1的全排列,②t是nppp21的逆序数,③是对所有n,,2,1的全排列求和.例1.计算对角行列式:)24(0004003002001000例2.证明对角行列式（其对角线上的元素是i,未写出的元素都为0）nn2121,nnnn2121211证明:按定义式nn32121nn21213nnn3211211nnn32111111nnn21211例3.证明下三角行列式nnnnnnaaaaaaaaaD2211212221110.证明:按定义式得nnnnaaaaaaaD32333222110nnnnaaaaaaa43433322110nnaaa2211.以上,n阶行列式的定义式,是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式.回顾和小结小结：1.二三阶行列式的定义；2.全排列及其逆序数；3.n阶行列式的定义。复习思考题或作业题思考题：1.计算三阶行列式654987321D2.求排列54321的逆序数.作业题：习题一：第1（1,3）、2（2,4,6）实施情况及分析1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全排列及的定义概念,会计算二、三阶行列式；2.对其逆序数等方面的应用有待加强.第（2）次课授课时间（）教学章节第一章第四、五节学时2学时教材和参考书《线性代数》(第4版)同济大学编1.教学目的：掌握对换的概念；掌握n阶行列式的性质，会利用n阶行列式的性质计算n阶行列式的值；2.教学重点：行列式的性质；3.教学难点：行列式的性质.1.教学内容：对换；行列式的性质；2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第四节对换对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调,叫做相邻对换．例：bbbaaal11——bbabaal11.定理1一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明：由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立定理2：n阶行列式为：.)1(2112123222113121121nppptnnnnaaaaaaaaaaaa其中t为nppp21的逆序数.（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明）（补充）定理3n阶行列式也可定义为.)1(121211121232221131211nqpqpqptnnnnaaaaaaaaaaaa其中nppp21和nqqq21是两个n级排列,t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.练习：试判断655642312314aaaaaa和662551144332aaaaaa是否都是六阶行列式中的项.第五节行列式的性质转置行列式的定义记nnnnnnaaaaaaaaaD212222112111TD=nnnnnnaaaaaaaaa212221212111(D)行列式TD称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列）一、n阶行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等.由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然.如:dcbaDdbcaDT以ri表示第i行，jc表示第j列.交换ji,两行记为ijrr,交换i,j两列记作ijcc.性质2：行列式互换两行（列），行列式变号.推论：行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.性质3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以数k,等于用数k乘以该行列式.推论：行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.性质4：行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.性质5：若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.即若nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD2122222211111211)(则nnninnniniaaaaaaaaaaaaD21222221111211+nnninnniniaaaaaaaaaaaa21222221111211.性质6：把行列式某一行（列）的元素乘以数k再加到另一行（列）上，则该行列式不变.二、n阶行列式的计算：例1.计算2164729541732152D.解：2164729541732152D31cc24617592437122511214132rrrrrr021031106120225142432rrrr021033006300225142rr93000030002102251.例2.abbbbabbbbabbbbaD4321rrrrabbbbabbbbabbabababa3333bar311abbbbabbbbabba1111314,3,2brriibabababa00000000011113))(3(baba.(推广至n阶，总结一般方法)例3.证明：222222111111prrqqpprrqqpprrqqp2221112rqprqprqp.证明：左端22222111115prrqpprrqpprrqp第一列性质2222211111prrqqprrqqprrqq22221111rrqprrqprrqp22221111prrqprrqprrq222111rqprqprqp222111prqprqprq2221112rqprqprqp.例4.计算n2阶行列式.nbcaddcdcdcbababaD)((利用递推法计算)例5.nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110，,)det(11111kkkkijaaaaaD.)det(11112nnnnijbbbbbD证明：21DDD.回顾和小结小结：对换和n阶行列式的性质与计算1.对换的定义及两个定理;2.n阶行列式的性质与计算；复习思考题或作