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第一讲速算与巧算（一）一、凑十法：同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于10：1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用这些结果，可以使计算又快又准。例1计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解：对于这道题，当然可以从左往右逐步相加：1+2=33+3=66+4=1010+5=1515+6=2121+7=2828+8=3636+9=4545+10=55这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。若是利用凑十法，就能克服这种缺点。二、凑整法同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如：1+19=2011+9=302+18=2012+28=403+17=2013+37=504+16=2014+46=605+15=2015+55=706+14=2016+64=807+13=2017+73=908+12=2018+82=1009+11=20又如：15+85=10014+86=10025+75=10024+76=10035+65=10034+66=10045+55=10044+56=100等等巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。例2计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：例3计算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做：例4计算2+13+25+44+18+37+56+75解：用凑整法：三、用已知求未知利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更准。下面再举两个例子。例5计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20解：由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和以及从2开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）=100+110（这步利用了例2和例3的结果）=210例6计算5+6+7+8+9+10解：可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。5+6+7+8+9+10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）（熟练后，此步骤可省略）=55-10=45四、改变运算顺序在只有加减运算的算式中，有时改变加、减的运算顺序可使计算显得十分巧妙！例7计算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解：这题如果从左到右按顺序进行加减运算，是能够得出正确结果的。但因为算式较长，多次加减又繁又慢且容易出错。如果改变一下运算顺序，先减后加，就使运算显得非常“漂亮”。下式括号中的算式表示先算，10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）=1+1+1+1+1=5五、带着“+”、“-”号搬家例8计算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解：这题只有加减运算，而且1-2不够减。我们可以采用带着加减号搬家的方法解决。要注意每个数自己的符号就是这个数前面的那个“+”号或“-”号，搬家时要带着符号一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）[先减后加]=1+1+1+1+1+1=6在这道题的运算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，……把“+11”搬到了“-10”的前面，这就叫带着符号搬家。巧妙利用这种搬法，可以使计算简便。习题一1．计算：13+14+15+16+17+252．计算：2+3+4+5+15+16+17+18+203．计算：21+22+23+24+25+26+27+28+294．计算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+205．计算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-06．计算：10-20+30-40+50-60+70-80+907．计算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）8．计算：（2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19）9．计算：（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）习题一解答1．解：见下图：2．解：见下图：3．解：见下图：4．解：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20-(1+2+3+4)=210-10（利用例5的结果）=2005．解：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0=（22-20）+（18-16）+（14-12）+（10-8）+（6-4）+（2-0）=2+2+2+2+2+2=126．解：10-20+30-40+50-60+70-80+90=10+30-20+50-40+70-60+90-80=10+（30-20）+（50-40）+（70-60）+（90-80）=10+10+10+10+10=507．解：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）=（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）+（10-9）=1+1+1+1+1=58．解：（2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19）=109．解：（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）=50第二讲速算与巧算（二）例1哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1块，妹妹拿2块；哥哥拿3块，妹妹拿4块；接着哥哥拿5块、7块、9块、11块、13块、15块，妹妹拿6块、8块、10块、12块、14块、16块。你说谁拿得多，多几块？解：方法1：先算哥哥共拿了多少块？再算妹妹共拿了多少块？72-64=8（块）方法2：这样想：先算每次妹妹比哥哥多拿几块，再算共多拿了多少块。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8（块）可以看出方法2要比方法1巧妙！平时注意积累，记住一些有趣的和重要的运算结果，非常有助于速算。比如，请同学记住几个自然数相加之和：1+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55例2星期天，小明家来了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54块。小明说：“咱们一共10个人，每人都要分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，谁会分？”结果大家都无法分，你能帮他们分好吗？解：按小明提的要求确实无法分。因为要使得每个人都得到糖，糖块数人人不等，需要糖块数最少的分法是：第一人分到1块，第二人分到2块，…第十人分到10块。但是，这种分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（块）而小明这包糖一共才54块，所以按这种方法无法分。如果改变一下，有一人少得1块糖，比如说，应该得10块糖的小朋友只分到了9块，但是这样一来，他就和另一个先分得9块糖的那个小朋友一样多了，这又不符合小明提出“每人分到的糖块数不能一样多”的要求。（注意：“按小明提的要求无法分”就是此题的答案。在数学上“无解”也叫问题的答案。）例3时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，……照这样敲下去，从1点到12点，这12个小时时钟共敲了几下？解：这是一道美国小学奥林匹克试题，要求在3分钟内就要得出答案。方法1：凑十法方法2：如果能记住从1到10前十个自然数之和是55，计算会更快。（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12=55+11+12=78（下）习题二1．三个小朋友分5块糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，你能分吗？2．①把16只小鸡分别装进5个笼子里，每个笼子里都要有鸡，而且每个笼子里的鸡的只数也不能相同，如何分装？②按同样要求，把15只小鸡装进5个笼子能办得到吗？③按同样要求，把14只小鸡分装到5个笼子能办得到吗？3．①把100块糖分给10个小朋友。要求每人都分到单数块糖，而且每人分到糖块数都不一样，如何分？②把99块糖按同样要求分给10个小朋友，你能分吗？4．从1到20这20个数中，所有的双数之和与所有的单数之和的差是多少？5．小方家的钟除了几点钟敲几下外，每半点钟也敲一下。比如说，0点半敲1下，1点钟敲1下，1点半敲1下，2点敲2下，2点半敲1下，……照这样敲下去，从夜里0点开始，计到白天中午12点钟，在这12个小时之内时钟共敲了多少下？习题二解答1．答案是不能分。所需糖块数最少的一种分法是：第1个人分1块，第2个人分2块，第3个人分3块，这样三个人共需要有1+2+3=6（块），但总的糖块数只有5块，不够分。如果第3个人也分得2块，这样糖是够分了，但是这样就有2个人分得糖块数一样多了，又不符合分糖的要求了。2．①5只笼子装16只小鸡的装法是1，2，3，4，6。1+2+3+4+6=16（只）②5只笼子装15只小鸡的装法是1，2，3，4，5。1+2+3+4+5=15（只）③5只笼子装14只小鸡，要求每笼都有鸡，而且笼笼鸡数不等，无法分装。3．①记住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100块糖按要求分给10个人的分法是：各人所得糖块数分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。②99块糖按要求分给10个小朋友无法分。4．解：方法1：单数之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100双数之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110差：110-100=10方法2：改变运算顺序(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=105．解：先记录时钟敲的整点数和半点数如下：列算式求和，并改变运算顺序：1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=78+12=90（下）第三讲数数与计数（一）例1请你数一数，下图中共有多少个“×”?解：①分层数②先按“实心”三角形计算，再减去“空白”三角形中“×”的个数（1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（5+3+1）例2下图所示的“塔”由4层没有缝隙的小立方块垒成，求塔中共有多少小立方块？从顶层开始数，各层小立方块数是：第一层：1块；第二层：3块；第三层：6块；第四层：10块；总块数1+3+6+10=20（块）。从上往下数，第一层：1块；第二层：第一层的1块加第二层“看得见”的2块等于第二层的块数：1+2=3块；第三层：第二层的3块加第三层“看得见”的3块等于第三层的块数：3+3=6块；第四层：第三层的6块加第四层“看得见”的4块等于第四层的块数：6+4=10块。总块数1+3+6+10=20（块）例3右图是由小立方体码放起来的，其中有一些小立方体被压住看不见。请你数一数共有多少小立方体？解：从右往左数，并且编号第一排：1块；第二排：7块；第三排：5块；第四排：9块；第