高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限

返回上页下页目录2020年7月9日星期四1第二节数列的极限(LimitsofSequences)第一章极限方法是高等数学中的一种基本方法．本节主要介绍数列极限的概念以及收敛数列的性质．二、收敛数列的性质一、数列极限的定义返回上页下页目录2020年7月9日星期四2一、数列极限的定义1.数列(Sequenceofnumber)如果按照某一法则，对每个Zn，对应着一个确定的实数nx，这样无穷多个实数123,,,,,nxxxx按次序一个接一个地排列下去，就构成了一个数列，简记为nx.数列中的每一个数叫做数列的项，第n项nx称为数列的一般项或通项，例如数列：（1）2341,,,,,123nn通项为1nn（2）1,1,1,11,1,1,1通项为(1)n返回上页下页目录2020年7月9日星期四3（3）3,33,,333,通项为13nnxx且13x．事实上，一方面数列给出了一个以正整数集为定义域的函数，此函数称为整标函数，即()nxfn．另一方面，在几何上数列对应着数轴上一个点列，可看作依次在数轴上取12,,,,nxxx的动点.1x2x3x4xnx返回上页下页目录2020年7月9日星期四42.数列极限的定义我们先来观察数列1(1)1nn当n无限增大时，即n时的变化趋势.图形演示返回上页下页目录2020年7月9日星期四6通过上面演示实验的观察知:当n无限增大，一般项(1)1nnxn无限接近于常数1．怎样用精确的数学语言来阐述“当n趋于无穷大时，数列nx无限接近一个确定的常数a”这一变化趋势？我们知道，两个数a与b之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值||ba来度量（||ba的几何意义表示点a与点b之间的距离），||ba越小，a与b就越接近．为此，“数列nx无限接近一个确定的常数a”，就是||nxa可以任意小，也就是说||nxa可以小于预先给定任意小的正数；“n趋于无穷大”就是要n充分大，大到足以保证||nxa可以小于预先给定任意小的正数．返回上页下页目录2020年7月9日星期四7对于数列(1)1nnxn，给定正数1100，只要100n时，就有1|1|100nx给定正数11000，只要1000n时，就有111000nx给定正数110000，只要10000n时，就有1110000nx一般地，对于给定任意小的正数，只要1nN时，就有1nx成立，我们就称数列(1)1(1,2,)nnxnn当n趋于无穷大时的极限为1．返回上页下页目录2020年7月9日星期四8定义设有数列nx和常数a，如果对任意给定的正数（无论它多么小），总存在正整数N，使得对于nN的一切nx，不等式nxa都成立，那么就称常数a为数列nx的极限，或者称数列nx收敛于a，记作limnnxa，或nxan．如果不存在这样的常数a，就说数列nx没有极限，或者说数列nx是发散的，也称limnnx不存在．为方便起见，引入记号“”表示“任意给定的”或“对对于每一个”，记号“”表示“存在”．则数列极限limnnxa的定义可表达为：limnnxa0,正整数N，当nN时，有||nxa．返回上页下页目录2020年7月9日星期四9这就是所谓的“N”定义．limnnxa0,正整数N，当nN时，有||nxa．不等式nxa刻画了nx与a无限接近．正整数N与任意给定的正数有关，它随着的给定而确定．数列极限limnnxa的几何解释:因为||nxanaxa，所以当nN时，即从点Nx以后，所有的点nx都落在开区间(,)aa内，所有的点nx都落在开区间(,)aa内，而只有有限个点（至多只有N个）在这区间以外．x1x2x2Nx1Nx3x2aaa返回上页下页目录2020年7月9日星期四10证明数列的极限为C.证:例1已知对一切自然数n，CxnCC0成立所以,（常数），数列的极限为C.注1:常数列的极限等于同一常数．注2:在利用定义来论证某个数a是数列nx的极限时，关键是对于任意给定的正数，验证是否确实存在这种正整数N，当nN时，有不等式||nxa成立，但没有必要去求最小的N．返回上页下页目录2020年7月9日星期四11证:0nx31(8)n例2证明18n1n,)1,0(欲使只要1,n即n取1,N则当Nn时,就有,0nx1.故3(1)limlim0(8)nnnnxn故也可取18N也可由310(8)nxnN与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取318N返回上页下页目录2020年7月9日星期四12例3证明1lim0nnq，其中||1q．证:若0q，则1limnnqlim0n0(由例1）若0||1,q则0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn返回上页下页目录2020年7月9日星期四13二、收敛数列的性质1.收敛数列的极限唯一.(Uniqueness)证设limnnxa，又limnnxb．由定义,10,N，2N使得当1nN时，总有nxa（1）当2nN时，总有nxb（2）取12ma{,}NxNN，则当nN时，有不等式(1)和(2)同时成立．故()()nnabxbxannxbxa2由的任意性，上式仅当ab时才成立，所以收敛数列的极限是唯一的.返回上页下页目录2020年7月9日星期四14是发散的.证:用反证法.假设数列nx收敛,则有唯一极限a存在.取,21则存在N,2121axan但因nx交替取值1与－1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当nN时,有因此该数列发散.例4证明数列返回上页下页目录2020年7月9日星期四152.收敛数列一定有界.(Roundedness)证:设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.,1axn有说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.数列返回上页下页目录2020年7月9日星期四16若且时,有,)0(.)0(证:对a0,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)3.收敛数列的保号性.(Sign-preservingProperty)返回上页下页目录2020年7月9日星期四17*********************,axkn证:设数列是数列的任一子数列.若则,0,N当时,有现取正整数K,使于是当Kk时,有knKnN从而有由此证明.limaxknk*********************NKnNxKnx4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.返回上页下页目录2020年7月9日星期四18说明:性质4也给出了一种判断数列nx发散的方法．如果数列nx有两个子数列收敛于不同的极限，那么原数列nx一定是发散的．例如，1lim2kkx发散!思考如果数列nx有某一个子数列是发散的，那么原数列nx的敛散性如何？返回上页下页目录2020年7月9日星期四19内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限课后练习习题1-212（2）3～6返回上页下页目录2020年7月9日星期四20思考与练习又因为||||||||nnxaxa.1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.若limnnxa，请问是否有lim||||nnxa？反之，是否成立？解:因为limnnxa,所以0,N,当nN时,有||nxa.于是，0,N,当nN时,||||||nxa.故lim||||nnxa.反之，若lim||||nnxa,则未必有limnnxa.例如，数列1nnx,||1nx，显然lim||1nnx,但limnnx不存在.返回上页下页目录2020年7月9日星期四213．设数列nx有界，又lim0nny．证明：lim0nnnxy．证:依题意,存在M0,对一切n都有||nxM，又因为lim0nny,所以，对0,存在N,当nN时,|0|ny,因为对上述N,当nN时,|0|nnxy||nnxy||nMyM由的任意性,则lim0nnnxy.思考题设数列nx的一般项1(3)πcos2nnxn，则lim__________.nnx0