§1.1-样本空间与随机事件

2020/7/91概率论与数理统计Probability&Statistics2020/7/92自然界及人类活动中所观察到的现象可大致分为两类：确定性现象：在一定条件下一定会发生的现象。如“同性电荷必然互斥”、“一标准大气压下，水加热到100摄氏度就会沸腾”。不确定现象(随机现象)：在一定条件下具有多种可能会发生的结果，事先并不能肯定究竟哪一个结果会发生的现象。如“投硬币”、“掷骰子”。随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性。2020/7/93概率论就是研究随机现象并揭示其统计规律的一门数学分支。数理统计是研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，利用概率论的知识对所考察的问题作出推断或预测的数学分支.本课程包含上述两部分：教材的前五章讲解概率论部分，第六章起讲解数理统计部分。2020/7/94第一章概率论基础知识§1.1样本空间与随机事件2020/7/95随机试验1.可以在相同条件下重复进行；2.试验结果不止一个，且试验前可以预知一切可能的结果；3.试验前不能确定会出现哪一个结果,而试验后一定会出现一个确定的结果。具有这三个特点的试验称为随机试验。随机试验的三个特点:2020/7/96例1:将一枚硬币连抛两次，考虑正反面出现的情况；例2:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;例3:记录某网站单位时间内受到的点击次数；例4:从一批灯泡中任取一只，测其使用寿命;例5:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数.随机试验的例子2020/7/97样本空间由于随机试验的结果不止一个，但所有可能的结果是已知的，我们就称一切可能结果的全体所构成的集合为样本空间，用Ω表示。而Ω中的元素ω称为样本点。样本点.2020/7/98例:考虑试验E1：将一枚硬币抛掷两次，第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):可能结果为:={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}H（T）表示正（反）面，可见，该随机试验的所有可能的结果，构成一个集合：我们称该集合为这个随机试验的样本空间。2020/7/99随机事件在实际问题中，我们需要研究由样本点构成的样本空间的子集，如甲乙两人掷骰子进行赌博:约定点数大的赢.让x,y分别表示甲乙掷的点数则样本空间为{(x,y):x=1,…,6;y=1,…,6}.那么甲赌徒并不太关心掷的骰子具体的点数，而是很关心“自己的点数是否比别人的大”.满足“自己的点数是否比别人的大”的全体样本点构成的这种集合，我们就称为随机事件。具体说来就是：样本空间中满足某种条件的样本点所构成的子集，称为随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C等表示，设A为一事件，若试验后的结果属于A，则称事件A发生。2020/7/910特殊事件基本事件——仅由一个样本点组成的事件，它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.常记为{}.注意区分基本事件和样本点.必然事件——全体样本点组成的事件,记为,每次试验必定发生的事件.不可能事件——不包含任何样本点的事件,记为,每次试验必定不发生的事件.2020/7/911例如：同时投甲乙两枚骰子，观察其结果。{(,):,1,2,,6}.ijij事件“点数之积小于等于36”就是必然事件；事件“点数之和等于21”就是不可能事件；若A表示事件“点数一样”，则{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.A若一次试验的结果是甲乙骰子都是二点，则这次试验A事件发生了。2020/7/912从集合的角度看AB2020/7/913根据定义知事件是样本点的集合，集合之间具有关系及运算，那么相应的事件之间也有关系与运算。由于事件是具有特定概率意义的集合，事件之间的关系及运算也就具有特定的概率含义。事件的关系及运算事件的和（并）运算AB＝“A与B至少有一个发生”这就是和事件的概率意义，注意其等价的语言描述，如或者A发生，或者B发生等。ABΩ2020/7/914一般地，n个事件的和事件记为，可列个事件的和记为，均表示“所列事件中至少有一个发生”。12,,,nAAA1niiA12,,,,nAAA1iiA事件的积（交）运算AB＝“两事件A与B同时发生”一般地，n个事件的积事件记为，可列个事件的积记为，均表示“所列事件同时发生”。12,,,nAAA1niiA12,,,,nAAA1iiAAΩB2020/7/915显然，对任意事件A，B，C，必有12()A,()ifABBCAC，，then。事件的差AB=“A发生而B不发生”ABΩBA包含关系事件A发生，则必有事件B发生ABΩ2020/7/916相等关系AB事件A发生，则必有事件B发生；反之，事件B发生，则事件A发生。ΩABABΩBA互斥关系，也称互不相容A与B不能同时发生。2020/7/917显然，若A与B互逆，则A与B互斥。反之不然。并且有AAAAAAABAB，，，。互逆关系，也称对立ΩABAABABBA，，。记为2020/7/918完备事件组(划分):A1,A2,…,An满足1ij()AA(ij),niiA1)2(完备事件组将样本空间分为有限个互不相容的事件的和。事件之间的运算律•交换律•结合律,ABBAABBA,ABCABCABCABC2020/7/919•分配律•对偶律,ABCABACABCABAC,,,iiiiABABABABAAAA除以上性质之外，另外还有•吸收律•分解律•蕴涵律•差积转换律,,ifABthenABAABB,ifABthenBAAB,,ifABthenABBA\\ABABAAB2020/7/920iA31,2,31,2,3)iiAiAi：一个工人生产了个零件，事件表示“该工人生产的第i个零件例题合格”，。试用（表示如下事件：1）B1=“只有第一件是合格品”；2）B2=“三个零件中只有一个是合格品”；3）B3=“三个零件中最多有两个是合格品”；4）B4=“三个零件中最多有一个是不合格品”。解（1）事件B1等价于“第一个零件是合格品，同时第二和第三个都是次品”，故有1123BAAA2020/7/921（2）事件B2=“只有一个是合格品”等价于“只有第一个零件是合格品”，或“只有第二个零件是合格品”，或“只有第三个零件是合格品”，由（1）有2123123123BAAAAAAAAA；2020/7/922（3）B3=“最多有两个是合格品”方法一：正面考虑，有3123123123123123123123BAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA；方法二：与B3等价的是“至少有一个零件是次品”，故有3123BAAA方法三：B3的对立事件是“三个零件全是合格品”，即为A1A2A3，所以有3123BAAA2020/7/923大家可以去验证一下，虽然答案的表现形式不一样，但实质上是一样的。一般来说，当一个事件直接表示比较困难，或则比较复杂时，就可以考虑先表示其对立事件，然后根据对立事件的对立事件就是其自身，比如出现“至少有多少个”，“最多多少个”的情况可以考虑其对立事件。2020/7/9244）B4＝“最多有一个是不合格品”方法一：B4等价于“三个零件均合格”，或者三个零件中仅有一个不合格，所以4123123123123BAAAAAAAAAAAA；方法二：B4等价于“三个零件中至少有两个合格品”，所以4122313BAAAAAA。2020/7/925例题一工厂生产n个零件，设表示“第i个零件iA是正品”.试用文字叙述下列事件：11[()]nnikikkiAA第i个零件不是正品除第i个零件外的其它零件都是正品只有第i个零件不是正品只有一个零件不是正品2020/7/926练习甲乙丙三人各向靶子射击一次，设iA第i人击中靶心.试用事件的运算关系表示下列事件：表示(1)至少两人击中靶心：(2)靶上仅中一弹：2020/7/927(1)至少两人击中靶心：甲乙击中，或乙丙击中，或甲丙击中12AA23AA13AA122313AAAAAA(2)靶上仅中一弹：只有甲中，或只有乙中，或只有丙中123123123AAAAAAAAA123AAA123AAA123AAA