通信原理 随机信号分析

第3章随机信号分析通信原理2020/7/91第3章随机信号分析3.1随机过程的一般表述3.2平稳随机过程及其数字特征3.3平稳随机过程的相关函数与功率谱密度3.4高斯过程3.5窄带随机过程3.6正弦波加窄带高斯过程3.7随机过程通过线性系统第3章随机信号分析通信原理2020/7/92•本章教学目的：了解随机过程和数理统计的基本知识（因为它是分析和设计通信系统的重要工具）。•说明：随机过程与数理统计属于数学学科的内容。为了使大家迅速掌握随机过程与数理统计的有关知识，本章不准备从严格的数学角度介绍随机过程与数理统计的完整内容，而将结合本课程的特点从工程的角度有重点的介绍。第3章随机信号分析通信原理2020/7/933.1随机过程的一般表述3.1.1随机过程的概念•举例：图2-1n部接收机的输出噪声电压第3章随机信号分析通信原理2020/7/94•随机过程的定义：设随机试验E的可能结果为(t)，试验的样本空间S为；{x1(t)，x2(t)，，xi(t)，}，i为正整数，xi(t)为第i个样本函数（又称．之为实现）每次试验之后，(t)取空间S中的某一样本函数，于是称此(t)为随机函数。当t代表时间量时，称此(t)为随机过程。第3章随机信号分析通信原理2020/7/953.1.2随机过程的数字特征•随机过程(t)的一维分布函数：•(t)的一维概率密度函数：11111(,){()}FxtPtx1111111(,)(,)Fxtfxtx第3章随机信号分析通信原理2020/7/96•(t)的n维分布函数：•(t)的n维概率密度函数：1212(,,,;,,,)nnnFxxxttt1122{(),(),,()}nnPtxtxtx1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,nnnnnnnFxxxtttfxxxtttxxx第3章随机信号分析通信原理2020/7/97•随机过程(t)的数学期望：•随机过程的方差：1[()](,)Etxfxtdx2[()]{()[()]}DtEtEt第3章随机信号分析通信原理2020/7/98•随机过程(t)的协方差函数：•相关函数R(t1,t2)定义为：121122(,){[()()][()()]}BttEtattat1212122121212(,)[()()](,;,)RttEttxxfxxttdxdx第3章随机信号分析通信原理2020/7/99•互协方差函数：•互相关函数：121122(,){[()()][()()]}BttEtattat1212(,)[()()]RttEtt第3章随机信号分析通信原理2020/7/9103.2平稳随机过程及其数字特征•平稳随机过程的数学表述：如果对于任意的正整数n和任意实数t1，t2，，tn，，随机过程(t)的n维概率密度函数满足则称(t)是平稳随机过程。1212(,,,;,,,)nnnfxxxttt1212(,,,;,,,)nnnfxxxttt第3章随机信号分析通信原理2020/7/911•广义平稳随机过程：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其自相关函数仅与有关。•说明：在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数均可视为平稳的随机过程。11(,)()RttR[()]Eta第3章随机信号分析通信原理2020/7/912•各态历经性：平稳随机过程一般具有一个有趣的又非常有用的特性，这个特性称为“各态历经性”。即随机过程的数学期望（统计平均值），可以由任一实现的时间平均值来代替；随机过程的自相关函数，也可以由对应的“时间平均”来代替“统计平均”。第3章随机信号分析通信原理2020/7/913•若令•平稳随机过程的各态历经性表现为22221lim()1lim()()()TTTTTTxtdtaTxtxtdtRT()()aaRR第3章随机信号分析通信原理2020/7/914•［例3.2-1］讨论随机过程X(t)=Acos(t+)的各态历经性。式中振幅A和初相均为随机变量，两者统计独立，在（0，2）之间均匀分布。•因为[())][cos()]0EXtEAt2[](,)cos2EARtt第3章随机信号分析通信原理2020/7/915•所以，该随机过程为平稳随机过程。•又因为显然，该过程满足平稳性条件，但并不具备各态历经性。221lim()0TTTaxtdtT2221()lim()()cos()2TTTARxtxtdtT第3章随机信号分析通信原理2020/7/9163.3平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.相关函数的性质（1）(t)的平均功率（2）R()是偶函数2(0)[()]REtS()()RR第3章随机信号分析通信原理2020/7/917（3）R()的上界（4）(t)的直流功率（5）方差，(t)的交流功率()(0)RR2()[()]REt2(0)()RR第3章随机信号分析通信原理2020/7/9182.频谱特性•确定（知）功率信号f(t)，它的功率谱密度PS()可表示成式中：FT()是f(t)的截短函数fT(t)（如图3-2所示）的频谱函数。2()()limTsTFPT第3章随机信号分析通信原理2020/7/919•图3-2功率信号f(t)及其截短函数fT(t)第3章随机信号分析通信原理2020/7/920•随机过程(t)的功率谱密度为•(t)的平均功率2()()[()]limTsTEFPEPT2()11()lim22TTEFSPddT第3章随机信号分析通信原理2020/7/921•(t)的自相关函数与其功率谱密度之间为傅里叶变换关系()()jPRed()()PR第3章随机信号分析通信原理2020/7/9223.5高斯过程3.5.1高斯随机过程（正态随机过程）•定义：高斯随机过程(t)，即指它的任意n维（n=1，2，）概率密度函数由下式表示的随机过程，即1212(,,,;,,,)nnfxxxttt122111211exp[()()]2(2)nnjjkkjknjkjknxaxaBBB第3章随机信号分析通信原理2020/7/923•特例：高斯随机过程中的一维分布。一维概率密度函数式中a及是两个常量（均值及方差）。221()()exp[]22xafx第3章随机信号分析通信原理2020/7/924•f(x)的特性：高斯随机过程中的一维概率密度函数的特性理解比较容易，同学们可以参看课本。第3章随机信号分析通信原理2020/7/9253.6窄带随机过程•窄带信号：是指频谱只限于以fC为中心频率而带宽为f，ffC的信号，更确切地应该称之为高频窄带信号。第3章随机信号分析通信原理2020/7/926•窄带随机过程：如果信号或噪声满足窄带条件，且是一个随机过程，则称它们为窄带随机过程。如果噪声的瞬时取值服从高斯分布，则称它为窄带高斯噪声。在不特别声明情况下，我们仅仅讨论零均值平稳高斯窄带过程。第3章随机信号分析通信原理2020/7/927•零均值平稳高斯窄带过程：•或•其中C(t)及S(t)称为(t)的同相分量及正交分量：()()cos[()],()0ctatttat()()cos()sinccscttttt()()cos()ctatt()()sin()statt第3章随机信号分析通信原理2020/7/928容易证明如下结论结论之一：一个均值为零的窄带平稳高斯随机过程，它的同相分量C(t)和正交分量S(t)同样是平稳高斯随机过程，而且均值都为零，方差也相同，且等于(t)的方差。另外，在同一时刻上得到的C、S是不相关的或统计独立的。第3章随机信号分析通信原理2020/7/929•通过数学推导得：222()exp[],02aafaa1()022f222(,)exp[]22aafa第3章随机信号分析通信原理2020/7/930•结论之二：一个均值为零的平稳高斯窄带过程，其包络的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络与相位是统计独立的。02)(222expp2021)(pe10σρ)(p)(p2/10第3章随机信号分析通信原理2020/7/9313.6.2白噪声与带限白噪声•白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均匀分布（相同大小）的噪声（一般不特别声明，我们所讨论的白噪声的概率分布都是高斯的）。功率谱密度为式中：n0是一个常数，单位取“瓦／赫”（W／Hz）。0()2nP第3章随机信号分析通信原理2020/7/932•白噪声的自相关函数•说明：白噪声的自相关函数仅在=0时才不为零；而对于其他任意的它都为零。这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。自相关函数及其功率谱密度，如图3-5（a）所示。0()()2nR第3章随机信号分析通信原理2020/7/933•带限白噪声：如果噪声被限制在（-f0,f0）之内，且在该频率区间范围内有P()=n0/2，在该区间外P()=0，则这样的噪声被称为带限白噪声。带限白噪声的自相关函数为式中：0=2f0。00200000sin()2fjffnRedffn第3章随机信号分析通信原理2020/7/934•说明：带限白噪声只有在=k/2f0（k=1，2，3，）上得到的随机变量才不相关。即：对带限白噪声按抽样定理最低抽样速率抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。•带限白噪声的自相关函数与功率谱密度如图3-5（b）所示。第3章随机信号分析通信原理2020/7/935图3-5白噪声与带限白噪声的相关函数与谱密度第3章随机信号分析通信原理2020/7/9363.7正弦波加窄带高斯过程•正弦波加窄带高斯噪声的信号形式•信号r(t)的包络为()cos()()cos()[()cos()()sin()]ccccrtAtntAtxttytt[cos()]cos()[sin()]sin()ccAxttAytt2212(){[cos()][sin()()]}ztAxtAyt第3章随机信号分析通信原理2020/7/937•相位随机变量为•以相位为条件的z与的联合密度函数为arctan02sczz(,/)(,/)(,/)cscscscszzzzfzfzzfzzzzz22221exp{[2cos()]}22zzAAz第3章随机信号分析通信原理2020/7/938•推导可得包络概率密度函数为•称为广义瑞利分布也称莱斯（Rice）密度函数。2202221()exp[()]()02zAzfzzAIz第3章随机信号分析通信原理2020/7/939图3-6正弦波加高斯窄带过程的包络和相位分布第3章随机信号分析通信原理2020/7/9403.8随机过程通过线性系统•本节主要讨论平稳随机过程通过线性时不变系统后输出信号的统计特性，以及系统输入输出之间的一些重要关系。•设：确知信号vi(t)表示系统输入，v0(t)表示系统输出。则0()()()ivtvhtd第3章随机信号分析通信原理2020/7/941•输入随机过程i(t)有界且系统是物理可实现的，则输出随机过程0(t)为•以下讨论：在输入i(t)是平稳随机过程，分析系统输出