有理数(数轴、相反数、绝对值)

聿知识点：一、二、袇有理数：肄()正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数薃注：⑴正数和零统称为非负数；蒀⑵负数和零统称为非正数；蕿⑶正整数和零统称为非负整数；膇⑷负整数和零统称为非正整数.薃例题：【例1】【例2】袁⑴如果收入2000元，可以记作2000元，那么支出5000元，记为.羇⑵高于海平面300米的高度记为海拔300米，则海拔高度为600米表示.袆⑶某地区5月平均温度为20C，记录表上有5月份5天的记录分别为2.7，0，1.4，3，4.7，那么这5项记录表示的实际温度是.蚃⑷向南走200米，表示.【例3】【例4】节⑴在下列各数：(2)，2(2)，2，2(2)，2(2)中，负数的个数为个．虿⑵①10a；②21a；③a；④2(1)a一定是负数的是（填序号）．蚅螂荿练习题：膇1、下列说法正确的是（）蒄A．a一定是负数B．一个数不是正数就是负数袂C．0是负数D．在正数前面加“-”号，就成了负数2、3、螀下列说法正确的是（）衿A、一个数不是正数就是负数B、整数又叫自然数蒇C、正整数又叫自然数D、整数与分数统称为有理数4、5、羂下列说法正确的是（）膁A、0是正整数B、0是正数C、0是整数D、0既不是奇数又不是偶数莇4、下列说法正确的是（）芆A．a表示负有理数B．一个数的绝对值一定不是负数肂C．两个数的和一定大于每个加数D．绝对值相等的两个有理数相等薂二、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.肈⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.羅⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.膂⑶数轴的画法及常见错误分析羃①画一条水平的直线；蒆②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：m0nMN肇③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；膂④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.腿数轴画法的常见错误举例：芈错例袆原因节23薀无原点羀120薅没有正方向莁234羁单位长度不统一无原点莈0莄没有单位长度蒁莂肀莇有理数与数轴的关系：薁一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.葿在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.薈正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.膆注意：数轴上的点不都代表有理数，如.蚁袀例题：芀【例3】如右图所示，数轴上的点M和N分别对应有理数m、n，羅那么以下结论正确的是()DCBA0DCBA羅A.0m，0n，mnB.0m，0n，mn芁C.0m，0n，mnD.0m，0n，mn螇【例4】数abcd，，，所对应的点ABCD，，，在数轴上的位置如图所示，那么ac与bd的大小关系为（）羈A.acbdB.acbd肅C.acbdD.不确定的蚂葿【例5】在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为螆膅练习题：肂1、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点ABCD，，，对应的数分别为整数abcd，，，，并且29ba，那么数轴的原点对应点为（）A．B．袇A点B．B点C．C点D．D点蒅芅2、数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数_________艿3、已知数轴上有AB，两点，AB，之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么点B所对应的数为虿4、轴上表示整数的点称为整点。某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（）芄A.2002或2003B.2003或2004莅C.2004或2005D.2005或2006蚀肇三、相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.芇相反数的性质：莄⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．肁相反数必须成对出现，不能单独存在．蝿例如5和5互为相反数，或者说5是5的相反数，5是5的相反数，肆而单独的一个数不能说是相反数．蒄另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．蒂例如3与3互为相反数，而3与2虽然符号不同，但它们不是相反数．芇⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．袅这两点是关于原点对称的．薄⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．蕿一般地，数a的相反数是a；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意a不一定是负数．罿当0a时，0a；当0a时，0a；当0a时，0a.薄⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为相反数，则0ab，蚄反之，若0ab，则a与b互为相反数．羀⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；蒆一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；蚇一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.螄莀例题：膈【例6】下面各量具有相反意义的是()A．B．蒅向北走3千米，向东走3千米B．七年级⑴班男生有25人，女生有15人袄C．上午气温零上30C，下午气温零上8CD．上升200米，下降15米螁【例7】3的相反数是薆A．3B．－3C．±3D．13膄【例8】如果0ab，那么a，b两个实数一定是（）A．B．羄都等于0B．一正一负C．互为相反数D．互为倒膂【例9】a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c()．芈A．互为相反数B．互为倒数C．互为负倒数D．相等芇【例10】如果0a，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数羄⑴()a；⑵()a；⑶()a；⑷()a；⑸a艿肀羆肃练习题：螀1、2010的相反数是（）蒈A.2010B．20101C．2010D．20101螅2、m的相反数是，1m的相反数是，mnab的相反数是.膃3、若0mn，0np，且0mq，则().膁A.p与q相等B.m与p互为相反数C.m与n相等D.n与q相等膀4、下列说法错误的是()薄A.(3)与(3)互为相反数B.(3)与(3)互为相反数芃C.(3)与(3)互为相反数D.3与(3)互为相反数5、6、薂a和b之和的2003次方等于1，a与b的相反数之和的2003次方等于1，则20042004ab的值为多少？蚈薇莃虿荿莆蒃聿袇四、绝对值肄绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.薃绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.蒀注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.蕿②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.膇③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.薃④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝对值是5.袁求字母a的绝对值：羇①(0)0(0)(0)aaaaaa②(0)(0)aaaaa③(0)(0)aaaaa袆利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.蚃绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.节例如：若0abc，则0a，0b，0c虿绝对值的其它重要性质：ab0c1蚅（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即aa，且aa；螂（2）若ab，则ab或ab；（3）abab；aabb(0)b；（4）222||||aaa；（5）ababab，对于abab，等号当且仅当a、b同号或a、b中至少有一个0时，等号成立；对于abab，等号当且仅当a、b异号或a、b中至少有一个0时，等号成立．荿膇例题：蒄一：绝对值代数意义及化简【例1】【例2】袂列各组判断中，正确的是()螀A．若ab，则一定有abB．若ab，则一定有ab衿C.若ab，则一定有abD．若ab，则一定有22ab【例3】【例4】蒇如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求11abbacc的值.羂膁莇芆【例5】【例6】肂设,,abc为非零实数，且0aa，abab，0cc．化简babcbac．薂肈羅【例7】【例8】膂已知1999x，则2245942237xxxxx．b0a羃蒆【例9】【例10】肇如果010m并且10mx，化简1010xmxxm.膂腿芈袆【例11】【例12】节若0x，化简23xxxx．薀羀薅莁羁莈莄蒁练习题：莂1、如果2a＞2b，则()肀A．abB．a＞bC．abDa＜b莇2、对于1m，下列结论正确的是()薁A．1||mm≥B．1||mm≤C．1||1mm≥D．1||1mm≤葿3、数,ab在数轴上对应的点如右图所示，试化简abbabaa薈膆蚁4、5、袀若ab且0ab，化简ababab芀羅羅芁5、若1998m，则22119992299920mmmm．螇羈肅6、已知aa，0b，化简22442(2)24323abababba蚂葿螆膅肂袇蒅二.三.芅分类讨论-—零点分段法艿零点分段讨论的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例13】【例14】虿求12mmm的值．芄莅蚀肇练习题：1、2、芇化简代数式24xx莄肁蝿肆2、化简：121xx.蒄蒂芇三：关于aa的探讨应用【例15】【例16】袅已知a是非零有理数，求2323aaaaaa的值.薄蕿罿【例17】【例18】薄已知0abc，求abacbcabacbc的值．蚄羀蒆【例19】【例20】蚇a，b，c为非零有理数，且0abc，则abbccaabbcca的值等于多少？螄莀膈蒅袄螁练习题：薆1、若01a，21b，则1212abababab的值是（）膄A．0B．1C．3D．42、3、羄如果0abc，0abc，0abc，求200220032004()()()abcabc的值．膂芈芇羄艿肀3、如果20ab，求12aabb的值．羆肃螀蒈膈蚆四、五、薄绝对值的非负性蚂绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.羇【例11】若42ab，则_______ab.螆羄练习题：肀1、若7322102mnp，则23_______pnm＋.聿2、设a、b同时满足①2(2)|1|1abbb；②|3|0ab．那么ab螆3、已知2()55abbb，且210ab，那么ab_______肁五、绝对值的几何意义袂a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．螈ab的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．袆重点：奇数个绝对值相加，数按照从小到大排列，x取中间数，得最小值；偶数个绝对值相加，数按照从小到大排列，x取中间两个数及两数之间的数得最小值。蒂【例12】mn的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间