微分方程模型数学建模

数学建摸课程微分方程建模的思想和方法微分方程建模的简单实例微分方程的平衡点与稳定性案例第三章微分方程方法22020年7月9日32020年7月9日第三章微分方程方法微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛和实际的应用。微分方程建模主要有以下三种方法：根据已知规律建模利用高等数学中的微元分析法建模利用模拟近似法建模42020年7月9日开普勒三大定律：•太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一焦点的椭圆;•行星的向径在单位时间扫过的面积是一个常数；•行星运动周期之平方与平均距离之立方成正比。《数学的实践与认识》2005.12动态模型•描述对象特征随时间(空间)的演变过程•分析对象特征的变化规律•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段•根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模•根据建模目的和问题分析作出简化假设•按照内在规律或用类比法建立微分方程52020年7月9日62020年7月9日一、微分方程建模的思想和方法净变化率=输入率-输出率当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经过实践检验的规律和定理；（2）利用微元法（3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、近似这些现象。72020年7月9日1.估计死亡时间二、微分方程建模的简单实例在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体的温度是29℃，当时环境的温度是21℃.1h后尸体温度下降到27℃，若人体正常的体温是37℃，估计死亡时间。解：设T(t)为t时刻被杀害者的体温，k为比例系数.由Newton冷却定理（将温度为T的物体放入处于常温T0的介质中，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差：27)1(,29)(,37)0(),)(()(0tTtTTTtTkdttdT，82020年7月9日根据初始条件可得21)34(16)(ttT二、微分方程建模的简单实例1.估计死亡时间解方程得：21)(ktCetTT(t)=29时，t=2.4094这时求得的t是死者从死亡时间到尸体被发现所经历的时间。因此可得，死者的死亡时间大致在前一天晚上的10：35.92020年7月9日2.湖水的污染问题如图所示是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A，水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水经过B流出。在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5～20m3之间。请建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化并估计：（1）湖水何时到达污染高峰？（2）何时污染程度可降至安全水平（不大于0.05%）。二、微分方程建模的简单实例ABXABX小湖示意图102020年7月9日分析：湖水在时间t时的污染程度，可用污染度C(t)表示，即每立方米受污染的水中含有C3m的化学污染物质和（1-C）3m的清洁水。用分钟作为时间t的单位。在0t30的时间内，污染物流入湖中的速率是Z/30（13minm），而排出湖外的污染物的速率是)min(1.06013mC，因为每立方流走的水中含有C3m的污染物，而湖水始终保持20003m的容积不变，所以列方程：湖水中含污染物的变化率=污染物流入量-污染物排出量0)0(6302000CCZdtdC2.湖水的污染问题二、微分方程建模的简单实例112020年7月9日求解得一特解为：180/)1()(2000/6teZtC在0t30之间求t为多少时，C(t)最大。显然是t=30，污染达到高峰。此时的污染浓度为：ZeZC)10728.4(180/)1()30(42000/306然后污染物被截断，故方程改为CdtdC62000，2000/)30(6)30()(teCtC当它达到安全水平时，即C(t)=0.05%，可求出t=T)9564.0ln()6/2000(30ZT2.湖水的污染问题二、微分方程建模的简单实例0)0(6302000CCZdtdCZ取不同值时的浓度C（30）和时间TZ/m3C(30)/m3T/min50.00239552100.00478738150.00717918200.009561014132020年7月9日三、微分方程的平衡点及稳定性微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素。干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用。问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微小变化？有限区间的稳定性、无限区间的稳定性、渐进稳定性、扰动下的稳定性。实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解称为平衡点。142020年7月9日三.微分方程的平衡点及其稳定性设方程组（2）：00(,)()dtdttxfxxx如果存在某个常数(向量)0x使得0(;)0tfx，则称点0x为方程组的平衡点（或奇点）。且称0xx为方程组的平凡解（或奇解）。１．平衡点的概念152020年7月9日三.微分方程的平衡点及其稳定性１．平衡点的概念如果对所有可能初值条件，方程组（2）的解)(tx都满足0)(limxtt则称平衡点0x是稳定的；否则是不稳定的。问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？162020年7月9日判断平衡点的稳定性有两种方法：间接方法：首先求出方程的解)(tx，然后利用定义0)(limxtt来判断。直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性。三.微分方程的平衡点及其稳定性１．平衡点的概念172020年7月9日三.微分方程的平衡点及其稳定性2.一阶方程的平衡点及稳定性方程)(xfdtdx的平衡点0xx的稳定性判断方法：直接方法：将函数)(xf在0x点作一阶泰勒展开，即))((00xxxfdtdx显然0x也是该方程的平衡点，其稳定性取决于)(0xf符号：若0)(0xf，则平衡点0x是稳定的；若0)(0xf，则平衡点是不稳定的。为什么？182020年7月9日三.微分方程的平衡点及其稳定性3.平面方程的平衡点及稳定性设平面方程),(),(212211xxgdtdxxxfdtdx（4）的平衡点为)0(22011xxxx，）（，记为)()0(2010xxP，）（。如果对所有可能初值条件的解)()(21txtx，有)0(22011)(lim)(limxtxxtxtt，）（，则称平衡点)()0(2010xxP，）（是稳定的；否则是不稳定的。192020年7月9日三.微分方程的平衡点及其稳定性3.平面方程的平衡点及稳定性将方程组（4）的右边的函数作一阶泰勒展开，即))(,())(,())(,())(,()0(22)0(2)0(1)0(11)0(2)0(12)0(22)0(2)0(1)0(11)0(2)0(112121xxxxgxxxxgdtdxxxxxfxxxxfdtdxxxxx（5）记系数矩阵为A，且0A，Aqgfppxx,)(021。当0,0pq时平衡点0(0)012()Pxx（），是稳定的；当0p或0q时平衡点0(0)012()Pxx（），是不稳定的。202020年7月9日战争的预测与评估问题１．问题的提出由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装备现已成为决定战争胜负的重要因素．军事装备:军事实力的总和，主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等．现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的结果产生一定的影响．212020年7月9日战争的预测与评估问题１．问题的提出现在要求建立数学模型讨论的问题：(1)分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的相互关系进行讨论；(2)在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析.（3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。222020年7月9日战争的预测与评估问题2.模型的假设（１）敌对双方为甲方和乙方，时刻t的军备综合实力分别为)(tx和)(ty；（２）双方的军备综合实力是随着时间连续平稳变化的，即)(tx和)(ty是时间t的连续可微函数；（３）不考虑第三方的军备实力对甲乙双方的影响．232020年7月9日战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解问题(1):首先，双方都有一个固有的增加军备的需求，即各自的固有军备增长率，分别记为常数和．其次，甲方的军备实力的增长与乙方的军备实力成正比，反之亦然．其比例系数分别记为a和b．再次，军备增长率减少的程度与现有的军备实力成正比，其比例系数分别记为c和d．242020年7月9日战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解甲乙双方军备竞赛的数学模型:dybxdtdyaycxdtdx(1)为了研究军备竞赛的结局，求(1)的平衡点，即00dybxaycx可得)(,**abcdabcdabyabcddax．特征方程为：0)(2abcddcabcdqdcpp0,q0稳定，q0不稳定.252020年7月9日战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解当abcd时，平衡点),(**yx稳定，即当双方制约发展军备的程度大于刺激对方发展军备的程度时，军备竞赛的最终结果是可以达到平衡的．当abcd时，平衡点),(**yx不稳定，即当双方制约发展军备的程度小于刺激对方发展军备的程度时，双方的军备竞赛会一直无限地进行下去，最终会导致战争．262020年7月9日战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解当0，且abcd时，平衡点)0,0(),(**yx是稳定的．即甲乙双方没有厉害冲突和争端，在和平共处的情况下，都没有发展军备的欲望．当0,0，且abcd时，即双方军备竞赛的存在性，既便是双方被迫裁军，在某个时候有0)(tx和0)(ty，但由0dtdx和0dtdy，则双方的军备竞赛客观存在，最终双方的军备实力还会强大起来．272020年7月9日战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解如果有某种原因迫使某一方单方面裁军，如甲方既使在某个时候有0)(tx，但由于aydtdx的作用，则甲方的军备很快还会发展起来．282020年7月9日战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解问题(2):在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析.设甲方和乙方分别有m个和n个兵种，其数量分别用向量x和y表示，即Tmtxtxtxt)(,),(),()(21x，Tntytytyt)(,),(),()(21y292020年7月9日用jia表示ix对jy的损耗系数，即ix对jy的战斗力；用ijb表示jy对ix的损耗系数，即jy对ix的战斗力．通常情况下都有0jia，),,2,1;,,2,1(0njmibij．用ji表示ix用于攻击jy的损比例（或甲方的第i个兵种用于攻击乙方的第j个兵种的概率）；用ij表示jy用于攻击ix的比例（或乙方的第j个兵种用于攻击甲方的第i个兵种的概率）．战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解302020年7月9日战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解多兵种作战的数学模型为njxadtd