三角函数总复习(要)

第四章三角函数总复习一、任意角的三角函数1、角的概念的推广正角负角oxy的终边的终边),(零角正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角.负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.零角:如果一条射线没有作任何旋转,它形成了一个零角.②.象限角角正角零角负角将角的顶点与坐标系的原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角在第几象限.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任一象限.一般地有所有与角终边相同的角,连同在内,可构成一个集合.即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.},360|{ZkkS度弧度003064543602120321354315065270231803602902、角度与弧度的互化36021801801185730.57)180(1,弧度特殊角的角度数与弧度数的对应表1弧度的角:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.lr是弧长公式,其中α以弧度为单位3、任意角的三角函数定义xo●r的终边yxxryrxyrxrycot,sec,csctan,cos,sin22yxr定义：yP(x,y)设α是一个任意角,α的终边上任意一点p(除端点外)的坐标是(x,y),它与原点的距离是r2222(0)rxyxyyxosin0cos0csc0sec00cottan0csc0sin0tan00cotc0ossec0小结一正二正弦,三切四余弦oyxoyxoyxoyxpMTA(0,1)A(0,1)A(0,1)A(0,1)pMTpMTpMTsin0MPPMPcosOMOPOMtanATOA4、同角三角函数的基本关系式tancot1sincsc1cossec1coscotsin(sincostan)(cossincot)sintancos22sincos122tan1sec22cot1csc倒数关系商数关系平方关系5、诱导公式：,:2符号看象限奇变偶不变口诀为的各三角函数值的化简诱导公式是针对k例：)23sin(cos（即把看作是锐角）)2cos(sin)sin(sin)cos(cos二、两角和与差的三角函数1、预备知识：两点间距离公式xyo),(111yxp●●),(222yxp22122121)()(||yyxxpp),(21yxQ2、两角和与差的三角函数sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(tantan1tantan)tan(注：公式的逆用及变形的应用)tantan1)(tan(tantan公式变形3、倍角公式cossin22sin22sincos2cos22sin211cos21sincos222tan1tan22tan注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别22cos1cos222cos1sin2三、三角函数的图象和性质图象y=sinxy=cosxxoy22232-11xy22232-11性质定义域RR值域[-1，1][-1，1]周期性T=2T=2奇偶性奇函数偶函数单调性增函数]22,22[kk减函数]232,22[kk增函数]2,2[kk减函数]2,2[kko1、正弦、余弦函数的图象与性质2、函数的图象（A0,0))sin(xAyxysin第一种变换:图象向左()或向右()平移个单位00||)sin(xy横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变1101)sin(xy纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍横坐标不变)sin(xAy第二种变换：xysin横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变1011xysin图象向左()或向右()平移个单位00||)sin(xy纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍横坐标不变)sin(xAy3、正切函数的图象与性质y=tanx图象22xyo2323定义域值域},2|{NkkxxR奇偶性奇函数周期性T单调性))(2,2(Zkkk4、已知三角函数值求角y=sinx,的反函数y=arcsinx,]2,2[x]1,1[xy=cosx,的反函数y=arccosx,],0[x]1,1[xy=tanx,的反函数y=arctanx,)2,2(xRx⑵已知角x()的三角函数值求x的步骤]2,0[x①先确定x是第几象限角②若x的三角函数值为正的，求出对应的锐角；若x的三角函数值为负的，求出与其绝对值对应的锐角③根据x是第几象限角，求出x若x为第二象限角，即得x=；若x为第三象限角，即得x=；若x为第四象限角，即得x=④若，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。1x1x1x1x12xRx⑴反三角函数例1：已知是第三象限角，且,求。四、主要题型31costan为第三象限角解：322)31(1cos1sin2222cossintan应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；例2：已知，计算⑴⑵2tancossin2cossin3cossin解:⑴coscossin2coscossin3cossin2cossin31tan21tan337122123⑵1cossincossin22cossincossin1tantan2521222应用：关于的齐次式cossin与例3：已知，)4,0(),43,4(,135)4cos(,53)4sin(且)sin(求解:)](2cos[)sin()]4()4cos[()]4sin()4sin()4cos()4[cos(54)4cos()43,4(,53)4sin(且1312)4sin(),4,0(,135)4cos(且6556)13125313554(上式应用：找出已知角与未知角之间的关系例4：已知的值求)4sin(21sin2cos2),,2(2,222tan2解：)4sin(2sincos)4sin(21sin2cos22tan1tan1,222tan22tan2tan22tan1tan22或即2tan)2,4(),2(2sincossincos应用：化简求值322例5:已知函数求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值及相应的x的值；⑷函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到。,,cos3cossin2sin22RxxxxxyRxxy,2sin2解：xxxxxxy222cos22sin1cos3cossin2sin)42sin(2212cos2sin1xxx⑴22T⑵得由,224222kxkZkkxk,883)](8,83[Zkkk函数的单增区间为⑶22,)(8,2242最大值时即当yZkkxkx⑷xy2sin2图象向左平移个单位8)42sin(2xy图象向上平移2个单位)42sin(22xy应用：化同一个角同一个函数