三角函数的图象与性质2高考复习

三角函数的图象与性质三角函数性质类解答题的答题技巧【典例】（12分）（2010·北京高考）已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.(1)求f()的值;(2)求f(x)的最大值和最小值.【审题指导】(1)代入解析式可求.(2)利用同角三角函数关系转化后，再利用cosx的值域结合二次函数求解.3【规范解答】(1)由f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx得,f(x)=3cos2x-4cosx-1.……………………2分……………………………5分(2)由f(x)=3cos2x-4cosx-1=3(cosx-)2-,……7分∵-1≤cosx≤1,∴当cosx=-1时，f（x）max=-=6，…………9分当cosx=时,f(x)min=,……………………11分故f(x)的最大值为6,最小值为.………………12分2119f3cos4cos1341.333424故（）237323253737373【失分警示】解答本题有两点易造成失分：一是cos的值忘记造成失分.二是不会正确地配方结合二次函数求解.除此之外,解答此类问题时以下两点容易造成失分：1.对三角函数的转化,是化为正弦函数还是余弦函数不明确.2.化成二次函数型之后对sinx或cosx的值域的确定不正确.31.(2010·浙江高考)设0＜x＜,则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件2【解析】选B.∵0＜x＜,∴0＜sinx＜1.若x·sinx＜1，则xsin2x＜x·sinx＜1,故必要性成立.由xsin2x＜1得xsinx＜,而＞1,因此充分性不成立.21sinx1sinx2.(2011·聊城模拟)函数f(x)=1-2sin2x+2sinx的最小值与最大值为()(A)-3,1(B)-2,2(C)-2,(D)-3,【解题提示】将函数转化为关于sinx的二次函数求解.3232【解析】选D.由f(x)=-2sin2x+2sinx+1=-2(sinx-)2+.∵-1≤sinx≤1,故当sinx=时,f(x)max=.当sinx=-1时,f(x)min=+=-3,故f(x)max=,f(x)min=-3.123212323292323.(2010·福建高考)已知函数(ω＞0)和的图象的对称轴完全相同.若x∈则f(x)的取值范围是_________.fx3sin(x)6gx2cos2x10,,2［］【解析】的对称轴方程为(k∈Z),即(k∈Z).的对称轴方程为,即(k∈Z).由题意(k∈Z)知ω=2,∴当x∈［0,］时,2x-∈∴f(x)的取值范围是答案:fx3sin(x)6xk62k2x3gx2cos2x1kx22k2k322fx3sin(2x),6265,,66［］3,3.2［］3,3.2［］2xk4.(2011·银川模拟)下列命题(1)函数在区间内单调递增;(2)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期为2π;(3)函数的图象是关于点成中心对称的图形;(4)函数的图象是关于直线成轴对称的图形.其中错误的是____________.ysin(2x)3(,)36ycos(x)3(,0)6ytan(x)3x6【解析】(1)中,令(k∈Z),解得函数的单调递增区间为k∈Z,区间不在此单调递增区间内,所以(1)错误;(2)中,y=cos4x-sin4x=cos2x-sin2x=cos2x,所以最小正周期为π,(2)错误;(4)中,函数的图象不是轴对称图形,所以(4)错误;(3)中,令(k∈Z),得(k∈Z)，所以函数图象的对称中心为(k∈Z)，(3)正确，故(1)(2)(4)错误.答案:(1)(2)(4)2k2x2k2325k,k,1212［］(,)36ytan(x)3xk32xk6(k0)6，一、选择题（每小题4分，共20分）1.(2011·海淀模拟）函数f(x)=sin(2x+)图象的对称轴方程可以为（）（A）x=（B）x=（C）x=（D）x=【解析】选A.方法一:由(k∈Z),得(k∈Z),∴当k=0时,.方法二:把四个备选答案代入知，只有当时,y=1，过最值点,∴是函数的一条对称轴.312351262xk32kx212x12x12ysin(2x)3x12【方法技巧】三角函数的对称问题:1.从正、余弦函数的图象来看，正弦函数、余弦函数的对称轴都过最值点,对称中心都是图象与x轴的交点.利用此点，在解答有关选择题时，可代入验证.2.三角函数的性质中,对称性是重要性质之一.其中对称性有轴对称和中心对称两种,正、余弦函数既是轴对称又是中心对称函数,而正切函数只是中心对称函数,而非轴对称函数.2.函数的定义域为（）【解析】选C.由题意得,即k∈Z,故函数定义域为,k∈Z.1ycosx2A,33Bk,k,kZ33C2k,2k,kZ33DR［］［］［］1cosx22kx2k,332k,2k33［］3.(2011·唐山模拟）函数的一个递减区间为（）【解析】选A.由k∈Z,得k∈Z时，函数单调递减，因此当k=0时，函数的一个递减区间为ysin(2x)62A(,B(,)63363C(,)D(,)2222（）)（）（）（）32k2x2k,262＜＜2x(k,k)63，2.63（，）4.当0x时，函数的最小值是()（A）4（B）（C）2（D）【解析】选A.∵0x,∴tanx∈(0,1),∴当时，f(x)的最小值为4.422cosxfxcosxsinxsinx1242222cosxfxsinxcosxsinx1111tanxtanx(tanx)24，1tanx2145.关于函数有下列四个命题：①其最小正周期为;②其图象由y=2sin3x向左平移个单位而得到;③其解析式可写成f(x)=2cos(3x+);④在上为单调递增函数,则其中真命题为()（A）①③④（B）②③④（C）①②④（D）①②③【解析】选A.由ω=3得故①正确,排除B.将y=2sin3x向左平移个单位得y=2sin3（x+），即y=2sin（3x+）,故②错，排除C、D，因而选A.3fx2sin(3x),4234345x,1212［］22T,34434二、填空题（每小题4分，共12分）6.若直线xcosθ+ysinθ-1=0与圆(x-1)2+(y-sinθ)2=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是______.【解题提示】解答此题的关键是确定锐角θ的值，然后利用斜率的定义求出该直线的斜率.116【解析】由题意，点(1,sinθ)到直线xcosθ+ysinθ-1=0的距离为,即|cos2θ-cosθ|=.∵θ为锐角，∴cosθ∈(0,1),∴cos2θ-cosθ+=0,∴cosθ=,即θ=.∴直线斜率答案:14222cossin11,4cossin1414123cos3k.sin3337.(2011·安庆模拟）如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为_______.【解析】由已知得即即∴答案:y3cos(2x)4(,0)3｜｜43cos(2)03，2cos()03，2kkZ32，k6，min.6｜｜68.(2011·南京模拟）已知函数f(x)=xsinx,现有下列命题:①函数f(x)是偶函数;②函数f(x)的最小正周期是2π;③点(π,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心;④函数f(x)在区间［0,］上单调递增,在区间［,0］上单调递减.其中真命题是________(写出所有真命题的序号).22【解析】①因为函数f(x)=xsinx,所以f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),所以函数f(x)=xsinx是偶函数;②因为f(x+2π)=(x+2π)sin(x+2π)=(x+2π)·sinx=xsinx+2πsinx≠f(x),所以函数f(x)的最小正周期不是2π;③f(π+x)=(π+x)sin(π+x)=-(π+x)·sinx,而-f(π-x)=-(π-x)·sin(π-x)=-(π-x)·sinx,两者不恒等,所以(π,0)不是函数f(x)=xsinx的对称中心;④求导可得f′(x)=sinx+xcosx,当函数f(x)在区间［0,］上时,f′(x)=sinx+xcosx≥0,所以函数f(x)=xsinx在［0,］上单调递增,当函数f(x)在区间［,0］上时,f′(x)=sinx+xcosx≤0,所以函数f(x)=xsinx在［,0］上单调递减.答案:①④2222三、解答题（每小题9分，共18分）9.已知y=a-bcos3x(b＞0)的最大值为最小值为求函数y=-4asin(3bx)的周期、最值及取得最值时的x,并判断其奇偶性.【解析】依题意得∴y=-4asin(3bx)=-2sin3x,则周期当（k∈Z),即(k∈Z)时,ymin=-2,31aba2,,21b1ab22T,33x2k22kx363,21,2当(k∈Z),即（k∈Z）时，ymax=2，记f（x）=-2sin3x，∵f（-x）=-2sin3（-x）=-2sin（-3x）=2sin3x=-f（x），∴f（x）为奇函数.3x2k22kx3610.已知函数的定义域为［0,］,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.【解析】由题意知a≠0,若a0,则解得若a0,则解得综上可知:或fx2asin(2x)b3220x,2x,23333sin(2x)1,232ab1,3ab5a1263b23123；2ab5,3ab1a1263.b19123a1263,b23123a1263,b19123.【探究创新】（10分）已知函数x∈［0,2π］，g(x)=m，(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)=g(x)有4个根,求m的取值范围.sinx,sinxcosxfxcosx,sinxcosx＞【解析】(1)画出函数f(x)在［0,2π］上的图象如图,可知f(x)的单调增区间为和和单调减区间为和0,4［］5,4［］3,2,2［］,4［］53,.42［］(2)由图象可知当时,当x=π,时,f(x)=-1,故结合图象知当-1＜m＜时,f(x)的图象与g(x)的图象有4个交点，即f(x)=g(x)有4个根,故m的取值范围为(-1,).5x42fx,2322222