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第1页（共16页）2016-2017学年甘肃省天水三中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．以上都不对2．（5分）设0＜θ＜，已知a1=2cosθ，an+1=（n∈N*），猜想an等于（）A．2cosB．2cosC．2cosD．2sin3．（5分）在复平面内的▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4+i，3+4i，3﹣5i，则点D对应的复数是（）A．2﹣3iB．4+8iC．4﹣8iD．1+4i4．（5分）复数z满足（1﹣2i）z=7+i，则复数z的共轭复数z=（）A．1+3iB．1﹣3iC．3+iD．3﹣i5．（5分）“因为对数函数y=logax是增函数（大前提），而y=是对数函数（小前提），所以y=是增函数（结论）．”上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错6．（5分）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y（cm）175175176177177则y对x的线性回归方程为（）A．y=x﹣1B．y=x+1C．D．y=1767．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（p＞0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线第2页（共16页）C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线8．（5分）曲线的参数方程为（t是参数），则曲线是（）A．线段B．双曲线的一支C．圆D．射线9．（5分）直线：3x﹣4y﹣9=0与圆：，（θ为参数）的位置关系是（）A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心10．（5分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+4y′2=1，则曲线C的方程为（）A．25x2+36y2=1B．9x2+100y2=1C．10x+24y=1D．x2+y2=111．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2≠0，则a，b不全为0（a，b∈R）”时，其假设正确的是（）A．a，b中至少有一个为0B．a，b中至少有一个不为0C．a，b全为0D．a，b中只有一个不为012．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点个数为（）A．3B．2C．1D．0二．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）13．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为．14．（5分）观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…，则可归纳出．15．（5分）直线（t为参数）的倾斜角是．三．解答题（本大题共5小题，每小题15分，共75分）第3页（共16页）16．（15分）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．17．（15分）已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为．（1）化直线l的方程为直角坐标方程；（2）化圆的方程为普通方程；（3）求直线l被圆截得的弦长．18．（15分）已知直线l的参数方程为（t为参数），P是椭圆上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．19．（15分）在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为（2，），（3，0），O为极点，求：（1）|AB|；（2）求△AOB的面积．20．（15分）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．第4页（共16页）2016-2017学年甘肃省天水三中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2017春•秦州区校级月考）若（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．以上都不对【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，∴，解得x=1．故选：A．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2014春•保山校级期中）设0＜θ＜，已知a1=2cosθ，an+1=（n∈N*），猜想an等于（）A．2cosB．2cosC．2cosD．2sin【分析】利用排除法分别进行验证排除即可得到结论．【解答】解：当n=1时，A选项2cos=2cos，∴排除A．当n=2时，C选项2cos=2cos，∴排除C．a2==，此时D选项2sin=，∴排除D．故选：B．【点评】本题主要考查数列的通项公式的求解，利用已知条件进行排除即可，比较基础．第5页（共16页）3．（5分）（2013春•铁岭期中）在复平面内的▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4+i，3+4i，3﹣5i，则点D对应的复数是（）A．2﹣3iB．4+8iC．4﹣8iD．1+4i【分析】分别求出点A，B，C的坐标，然后利用中点坐标公式求出D的坐标，则点D对应的复数可求．【解答】解：∵复平面内的▱ABCD的点A，B，C分别对应复数4+i，3+4i，3﹣5i，即A（4，1），B（3，4），C（3，﹣5），设D（x，y），∵平行四边形的对角线互相平分，∴线段AC与BD的中点相同，则，解得．∴点D对应的复数是4﹣8i．故选：C．法二：=﹣⇒（﹣1，3）=（3﹣x，﹣5﹣y）解得．∴点D对应的复数是4﹣8i．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的坐标运算及中点坐标公式，是基础的计算题．4．（5分）（2013•商丘二模）复数z满足（1﹣2i）z=7+i，则复数z的共轭复数z=（）A．1+3iB．1﹣3iC．3+iD．3﹣i【分析】先将z利用复数除法的运算法则，化成代数形式，再求其共轭复数．第6页（共16页）【解答】解：∵（1﹣2i）z=7+i，∴z====1+3i．共轭复数=1﹣3i．故选B．【点评】本题考查复数除法的运算法则，共轭复数的概念及求解．复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．5．（5分）（2016春•锦州期末）“因为对数函数y=logax是增函数（大前提），而y=是对数函数（小前提），所以y=是增函数（结论）．”上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错【分析】当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y=logax是减函数，故可得结论．【解答】解：当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y=logax是减函数，故推理的大前提是错误的故选A．【点评】本题考查演绎推理，考查三段论，属于基础题．6．（5分）（2011•江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y（cm）175175176177177则y对x的线性回归方程为（）A．y=x﹣1B．y=x+1C．D．y=176【分析】求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点一定在线性回归直线上，第7页（共16页）把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，得到结果．【解答】解：∵=176，=176，∴本组数据的样本中心点是（176，176），根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，故选C．【点评】本题考查线性回归方程的写法，一般情况下要利用最小二乘法求出线性回归方程，本题是一个选择题目，有它特殊的解法，即把样本中心点代入检验，也不是所有的选择题都能这样做．7．（5分）（2017春•秦州区校级月考）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（p＞0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线【分析】极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ＞0），可得ρ=1或θ=π．即可得出．【解答】解：极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ＞0），可得ρ=1或θ=π．∴方程表示的图形是一个圆和一条射线．故选：C．【点评】本题考查了极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）（2014•湖南校级模拟）曲线的参数方程为（t是参数），则曲线是（）A．线段B．双曲线的一支C．圆D．射线【分析】判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程，再依据变通方程的形第8页（共16页）式判断此曲线的类型，由此参数方程的形式，可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程【解答】解：由题意由（2）得t2=y+1代入（1）得x=3（y+1）+2，即x﹣3y﹣5=0，其对应的图形是一条直线又由曲线的参数方程知y≥﹣1，x≥2，所以此曲线是一条射线故选D【点评】本题考查直线的参数方程，解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元，本题易因为忘记判断出x，y的取值范围而误判此曲线为直线，好在选项中没有这样的干扰项，使得本题的出错率大大降低．9．（5分）（2014春•滦南县期末）直线：3x﹣4y﹣9=0与圆：，（θ为参数）的位置关系是（）A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心【分析】根据圆的参数方程变化成圆的标准方程，看出圆心和半径，计算圆心到直线的距离，比较距离与半径的大小关系，得到位置关系．【解答】解：∵圆：，（θ为参数）∴圆的标准方程是x2+y2=4圆心是（0，0），半径是2，∴圆心到直线的距离是d==＜r∴直线与圆相交，且不过圆心，故选D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，本题解题的关键是求出圆的标准方程，算出圆心到直线的距离，本题是一个基础题．第9页（共16页）10．（5分）（2017春•秦州区校级月考）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+4y′2=1，则曲线C的方程为（）A．25x2+36y2=1B．9x2+100y2=1C．10x+24y=1D．x2+y2=1【分析】把代入曲线x′2+4y′2=1，即可得出．【解答】解：把代入曲线x′2+4y′2=1，可得（5x）2+4（3y）2=1，化为25x2+36y2=1，即为曲线C的方程．故选：A．【点评】本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题．11．（5分）（2017春•秦州区校级月考）用反证法证明命题“若a2+b2≠0，则a，b不全为0（a，b∈R）”时，其假设正确的是（）A．a，b中至少有一个为0B．a，b中至少有一个不为0C．a，b全为0D．a，b中只有一个不为0【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，求出要证命题的否定，即可得到答案．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而命题“若a2+b2≠0，则a，b不全为0（a，b∈R）”的否定为“a，b全为0”，故选C．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．12．（5分）（2014•黄山二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点个数为（）A．3B．2C．1D．0【分析】由得x的范围，从而画出曲线C1；由得普通方程，第10页（共16页）从而画出C2，观察图形即可得曲线C1与C2的交点个数．【解答】解：在中，当t＞0时，x≥，当t＜0时，﹣x=（﹣t）+（）≥，得x≤﹣2，原方程化为y=2（x≥2，或x≤﹣2）．…①方程的普通方程为x2+y2=4．…②将①式中的y=2代入②式中，得x=0，显然不满足①式，即方程组无实数解，所以曲线C1与C2的交点个数为0．故选：D．【点评】1．本题考查了直线与圆的参数方程化普通方程，两曲线的交点问题等．值得注意的是，应保证方程在转化过程中的等价性，特别是参数的