模拟退火算法的旅行商问题

..人工智能原理实验报告模拟退火算法解决TSP问题..目录1旅行商问题和模拟退火算法...........................................................................11.1旅行商问题..............................................................................................11.1.1旅行商问题的描述.........................................................................11.2模拟退火算法..........................................................................................11.2.1基本思想.........................................................................................12TSP模拟退火算法的实现................................................................................22.1TSP算法实现...........................................................................................22.1.1TSP算法描述..................................................................................22.1.2TSP算法流程..................................................................................32.2TSP的C实现..........................................................................................52.2.1加载数据文件.................................................................................52.2.2计算总距离的函数.........................................................................52.2.3交换城市的函数.............................................................................52.2.4执行模拟退火的函数.....................................................................52.3实验结果...................................................................................................72.4小结...........................................................................................................73源代码................................................................................................................8..1旅行商问题和模拟退火算法1.1旅行商问题1.1.1旅行商问题的描述旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，简称TSP）又名货郎担问题，是威廉·哈密尔顿爵士和英国数学家克克曼(T.P.Kirkman)于19世纪初提出的一个数学问题，也是著名的组合优化问题。问题是这样描述的：一名商人要到若干城市去推销商品，已知城市个数和各城市间的路程（或旅费），要求找到一条从城市1出发，经过所有城市且每个城市只能访问一次，最后回到城市1的路线，使总的路程（或旅费）最小。TSP刚提出时，不少人认为这个问题很简单。后来人们才逐步意识到这个问题只是表述简单，易于为人们所理解，而其计算复杂性却是问题的输入规模的指数函数，属于相当难解的问题。这个问题数学描述为：假设有n个城市，并分别编号，给定一个完全无向图G=（V，E），V={1，2，…，n}，n1。其每一边(i,j)E有一非负整数耗费Ci,j(即上的权记为Ci,j，i，jV)。并设1,ij0{ijX边（，）在最优线路上，其他G的一条巡回路线是经过V中的每个顶点恰好一次的回路。一条巡回路线的耗费是这条路线上所有边的权值之和。TSP问题就是要找出G的最小耗费回路。1.2模拟退火算法模拟退火算法由KirkPatrick于1982提出[7]，他将退火思想引入到组合优化领域,提出一种求解大规模组合优化问题的方法，对于NP-完全组合优化问题尤其有效。模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其缓慢降温(即退火)，使之达到能量最低点。反之，如果急速降温(即淬火)则不能达到最低点。加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而缓慢降温时粒子渐趋有序，在每个温度上都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp(-E/(kT))，其中E为温度T时的内能，E为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复产生“新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(CoolingSchedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子a、每个t值时的迭代次数L和停止条件C。1.2.1基本思想模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解3部分。其基本思想是：(1)初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态s(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L；(2)对k=1，……，L做第(3)至第6步；(3)产生新解s′；(4)计算增量cost=cost(s′)-cost(s)，其中cost(s)为评价函数；(5)若t′0则接受s′作为新的当前解，否则以概率exp(-t′/T)接受s′作为新的当前解；(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。终止条件通常取为连续（1-1）..若干个新解都没有被接受时终止算法；(7)T逐渐减少，且T趋于0，然后转第2步运算。具体如下（1）新解的产生和接受模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下4个步骤：①由一个函数从当前解产生一个位于解空间的新解。为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等。产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。②计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。③判断新解是否被接受。判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则：若t′0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-t′/T)接受S′作为新的当前解S。④当新解被确定接受时，用新解代替当前解。这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代，可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。（2）参数控制问题模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下3点[7]：①温度T的初始值设置。温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一。初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。②温度衰减函数的选取。衰减函数用于控制温度的退火速度，一个常用的函数为：(1)()TtTt式中是一个非常接近于1的常数，t为降温的次数。③马尔可夫链长度L的选取。通常的原则是：在衰减参数T的衰减函数已选定的前提下，L的选取应遵循在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡的原则。2TSP模拟退火算法的实现TSP是典型的组合优化问题，模拟退火算法是一种随机性解决组合优化方法。将TSP与模拟退火算法相结合，以实现对其求解。2.1TSP算法实现2.1.1TSP算法描述（1）TSP问题的解空间和初始解TSP的解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是所有城市排列的集合。TSP问题的解空间S可表示为{1,2,…,n}的所有排列的集合，即S={(c1,c2,…,cn)|((c1,c2,…,cn)为{1,2,…,n}的排列）}，其中每一个排列Si表示遍访n个城市的一个路径，ci=j表示在第i次访问城市j。模拟退火算法的最优解与初始状态无关，故初始解为随机函数生成一个{1,2,…,n}的随机排列作为S0。（2）目标函数TSP问题的目标函数即为访问所有城市的路径总长度，也可称为代价函数：（1-2）..11211,1,,,nniiniCcccdccdcc…，现在TSP问题的求解就是通过模拟退火算法求出目标函数C(c1,c2,…,cn)的最小值，相应地，s*=(c*1,c*2,…,c*n)即为TSP问题的最优解。（3）新解产生新解的产生对问题的求解非常重要。新解可通过分别或者交替用以下2种方法产生：①二变换法：任选序号u,v(设uvn)，交换u和v之间的访问顺序，若交换前的解为si=(c1,c2,…,cu,…,cv,…,cn),交换后的路径为新路径，即：si′=(c1,…,cu-1,cv,cv-1,…,cu+1,cu,cv+1,…,cn)②三变换法：任选序号u,v和ω(u≤vω)，将u和v之间的路径插到ω之后访问，若交换前的解为si=(c1,c2,…,cu,…,cv,…,cω,…,cn)，交换后的路径为的新路径为：si′=(c1,…,cu-1,cv+1,…,cω,cu,…,cv,cω+1,…,cn)（4）目标函数差计算变换前的解和变换后目标函数的差值：Δc′=c(si′)-c(si)（5）Metropolis接受准则根据目标函数的差值和概率exp(-ΔC′/T)接受si′作为新的当前解si，接受准则：'''1,0exp(/)0{ccTcp2.1.2TSP算法流程根据以上对TSP的算法描述，可以写出用模拟退火算法解TSP问题的流程图2-1所示：（2-1）（2-2）..图2-1TSP的模拟退火流程..2.2TSP的C实现2.2.1加载数据文件下面是加载数据文件的一个例子：中国31省会城市数据