复变函数--全套课件

《复变函数》2两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.第一讲复数及其代数运算3.arg,Argππ,)0(000zzz记作的主值称为的把满足的辐角中在辐角的主值4三角表示法利用欧拉公式,sincosiei复数可以表示成irez称为复数z的指数表示式.指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系,sin,cosryrx复数可以表示成)sin(cosirz5nkinkrzwnnπ2sinπ2cos1)1,,2,1,0(nk.,,个顶点边形的的圆的内接正为半径个值就是以原点为中心的在几何上nnrnznn方根单连通域与多连通域从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域.6复变函数的概念:)(相当于两个关系式之间的关系自变量与复变函数zfwzw注意:.0的方式是任意的定义中zz复变函数的极限极限计算的定理.),(lim,),(lim)(lim,,),,(),()(000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz的充要条件是那末设7.),(),(,),(),()(的极限问题和函数转化为求两个二元实变的极限问题该定理将求复变函数yxvyxuyxivyxuzf复变函数的连续性00lim()(),.zzfzfzzC连续的充要条件.),(),(),(:),(),()(00000处连续在和连续的充要条件是在函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf82117310,.xxxxx已知求的值例1解),1)(1(123xxxx因为,,012是一个三次单位根故而xxx1,,37211xxxxx从而.0123711xxxxx所以三、典型例题92111,1.nn设是的次方根,且求的值例2解1n因为121n所以.011n10例解,43,5521iziz设.2121zzzz与求iizz435521)43)(43()43)(55(iiii25)2015()2015(i.5157i21zz.5157i例5求下列复数的辐角主值:(1)122;(2)1;zizi,在第三象限因为zπ122arctan所以33arctan,65解(2),z因为在第四象限1arctan1所以arctan1,4(1)12例将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1(iziz.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32iiz解zr)1(,4412,在第三象限因为zπ122arctan所以33arctan,65故三角表示式为,65sin65cos4iz13指数表示式为.465iez5cos5sin)2(iz,1zr显然52cos5sin,103cos52sin5cos,103sin故三角表示式为,103sin103cosiz指数表示式为.103iez14.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32iiz,5sin5cos5iei因为)3sin()3(cos3sin3cosii,3ie32)3sin3(cos)5sin5(cosii所以3325)()(iiee,19ie故三角表示式为,19sin19cosiz指数表示式为.19iez6、基本问题(1)已知方程求图形例求下列方程所表示的曲线:(1)22;(2)Im()4.ziziz解.22距离相等的点的轨迹和表示所有与点i.22段的垂直平分线的线和连接点故方程表示的曲线就是i16,iyxz设,22yixiyix化简后得.xy(2)Im()4iz,iyxz设,)1(iyxzi,41)Im(yzi.3y所求曲线方程为(,)(,)zxiyFzzfxy令代入，化为一般方法：17解),(),(2211的直线的方程与通过两点yxyx)()(121121yytyyxxtxx),,(t参数所以它的复数形式的参数方程为)(121zztzz),,(t参数(2)已知图形求方程111222.zxiyzxiy将通过两点与的直线用复数形式的方程来表示例18,21的直线段的参数方程为到由故zz10)(121tzztzz,21t若取21的中点坐标为得线段zz.221zzz例10试用复数表示圆的方程:0)(22dcybxyxa其中，a,b,c,d是实常数。0dzzzaz得：).(21icb其中，解：,,22zzzzxyi将代入0)(22dcybxyxa,,22(,)(,)zzzzxyifxyFzz将代入，化为一般方法：20例解,3cos3sin),31(2121iziz已知,3sin3cos1iz因为,6sin6cos2iz63sin63cos21izz所以,i63sin63cos21izz.2123i.2121zzzz和求复数的运算21例.13的值计算i解ii2121214sin4cos2i31i324sin324cos26kik).2,1,0(k22,12sin12cos260iw,127sin127cos261iw.45sin45cos262iw即23例.14的值计算i解4sin4cos21ii424sin424cos2184kiki).3,2,1,0(k,16sin16cos280iw即,169sin169cos281iw24,1617sin1617cos282iw.1625sin1625cos283iw.28圆的正方形的四个顶点的心在原点半径为这四个根是内接于中oxy1w2w3w0w25例1解.2,1的象求圆周对于映射zzzw,,ivuwiyxz令zzw1映射,22yxiyxiyxivu,22yxxxu于是,22yxyyv:2的参数方程为圆周zπ20,sin2cos2yx三、典型例题26π20,sin23cos25vu所以象的参数方程为:平面上的椭圆表示w.123252222vu27例函数将平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？zw1zw.2)2(,9)1(22xyx解9222zyx因为又iyxzw11于是iyxivuw9191yvxu91,9191)(8112222yxvu表示平面上的圆.w22yxiyx),(91iyx(1)28.2)2(x解iyiyxz2因为iyzw211所以224,42yyvyu22222)4(4yyvu因为0222uvu所以表示平面上以为圆心，为半径的圆.w0,4141ivuyiy242,2412uy1614122vu放映结束，按Esc退出.29例2证(一).0)Re()(不存在时的极限当证明函数zzzzf,iyxz令,)(22yxxzf则,0),(,),(22yxvyxxyxu,趋于零时沿直线当kxyz2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx220)(limkxxxx30)1(lim220kxxx,112k,值的变化而变化随k,),(lim00不存在所以yxuyyxx,0),(lim00yxvyyxx根据定理一可知,.)(lim0不存在zfz证(二)),sin(cosirz令rrzfcos)(则,cos31,arg趋于零时沿不同的射线当zz.)(趋于不同的值zf,0arg趋于零时沿正实轴例如zz,1)(zf,2πarg趋于零时沿z,0)(zf.)(lim0不存在故zfz1）导数的定义00000()()d()lim.dzzzfzzfzwfzzz1.复变函数的导数与微分2)复变函数的微分d()d.wfzz2.解析函数可微可导连续有定义极限存在解析第二章3.奇点4.可导与解析的判定.,),(),(),(:)(),(),()(1xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf,,程该点满足柯西－黎曼方并且在可微在点与条件是可导的充要内一点在则内域定义在区设函数定理.),(),(:),(),()(2程并且满足柯西－黎曼方内可微在与内解析的充要条件是域在其定义函数定理,DyxvyxuDyxivyxuzf:,),(),()(则其导数公式可导处在点若函数yixzyxivyxuzfyuixuxvixuzf)(.xviyvyuiyv5、解析函数的判定方法.,内是解析的在解析函数的定义断定则可根据内处处存在的导数在区域数导法则证实复变函如果能用求导公式与求DzfDzfa)()()(.)(,RC),(,)()(内解析在条件可以断定要那末根据解析函数的充方程并满足可微因而、连续的各一阶偏导数都存在内在中如果复变函数DzfvuDvuivuzfb6.初等解析函数1)指数函数.)sin(cos.的指数函数为称设zyiyeeiyxzxz定义;0,0,)(zxzeeeza则对任意复数性质;)(,)(zzzeezeb而且平面上处处解析在;)(2121zzzzeeec.2)(为周期的周期函数是以iedz22sincos1,sin,cos.zzzz但不是有界函数2)三角函数.,2cos.,2sin余弦函数正弦函数定义称为称为izizizizeezieez3）对数函数zizzwArglnLnikziz2argln).,2,1,0(klnlnarg(arg)zzizz).,2,1,0(2lnLnkikzz4)幂函数).0(Lnzezwz39例.)(2的导数求zzfzzfzzfzfz)()(lim)(0解zzzzz220)(lim)2(lim0zzz.2zzz2)(2例判定在何处可导wz解wz由知,,yvxu.1,0,0,1yvxvyuxu不满足柯西－黎曼方程,.wz故在复平面内处处不可导41例判定下列函数在何处可导,在何处解析:(1);(2)Re().wzwzz解,)1(zw,,yvxu