《信号与系统》讲义教案第6章-离散信号与系统的Z域分析

第6章离散信号与系统的Z域分析6.0引言与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z变换是离散时间傅立叶变换的推广。Z变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，Z变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。6.1双边Z变换6.1.1双边Z变换的定义前面讨论过，单位脉冲响应为h[n]的离散时间LTI系统对复指数输入nz的响应y[n]为)(][zHnynz(6.1)其中)(zHnnznh][(6.2)式(6.2)就称为h[n]的双边Z变换。当z=je时，Z变换就转变为傅立叶变换。因此一个离散时间信号的双边Z变换定义为：()[]nnXzxnz(6.3)式中z是一个复变量。而x[n]与它的双边z变换之间的关系可以记做)(][zXnxz6.1.2双边Z变换的收敛域x[n]的双边Z变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的Z变换都存在；另一方面即使某信号的Z变换存在，但并非Z平面上的所有点都能使X(z)收敛。那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。只有当式(6.3)的级数收敛，()Xz才存在。()Xz存在或级数收敛的充分条件是[]nnxnz(6.4)在x[n]给定的条件下，式(6.4)级数是否收敛取决于z的取值。在z复平面上，使式(6.4)级数收敛的z取值区域就是X(z)的收敛域。6.1.3零极点图如果X(z)是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：ppiizzzzMzDzNzX)()()()()((6.5)则由其全部的零极点即可表示出()Xz，最多相差一个常数因子。在Z平面上表示出全部的零极点，即构成()Xz的几何表示——零极点图。如果在零极点图上标出ROC，则该零极点图可以确定一个信号。在Z平面上将零点、极点表示出来即为零极点图。图6.1零极点图例6.1有序列][][nuanxn，由式（6.1.3）式，它的)(zX为：nnnnnazznuazX)(][)(1要使)(zX收敛，就必须满足11az，即az，因此可得azzazazzXnn1111)()((6.6)当a在0到1之间取值时，其零极点图和ROC如图6.2所示：图6.2例6.1的收敛域例6.2设]1[][nuanxn，那么0111)(1]1[)(nnnnnnnnnnnzazazaznuazX当1zan，即az时，上使是收敛的，可得,11111)(11azzazXaz(6.7)当a在0到1取值时，其零极点图和ROC如下图所示：图6.3例6.2的收敛域例6.1和例6.2的结论是应该熟记的，在以后的学习将经常用到。例6.3设一个信号是两个实指数序列之和][216][317][nununxnn于是其z变换为213123211311121163117)(11111zzzzzzzzzzX可得它ROC为21z。例6.4信号]1[2][21][nununxnn的Z变换为11102112111221)(zzzzzXnnnnnn，ROC：221z图6.4例6.4的收敛域6.1.4收敛域的特征ROC的特征：性质1：)(zX的ROC是Z平面内以原点为中心的圆环。性质2：ROC内不包含任何极点。性质3：如果][nx是有限长序列，那么ROC就是整个z平面，可能除去0z和/或z。性质4：如果][nx是一个右边序列，并且0rz的圆位于ROC内，那么0rz的全部有限z值都在这个ROC内。性质5：如果是一个左边序列，而且0rz的圆位于ROC内，那么满足00rz的全部值都一定在这个ROC内。性质6：如果][nx是一个双边序列，而且0z的圆位于这个ROC内，那么该ROC一定是由包括0z在内的圆环组成的。性质7：如果][nx的()Xz变换是有理的，那么它的就被极点所界定，或者延伸至无限远。性质8：如果][nx的z变换)(zX是有理的，而且若是][nx右边序列，那么ROC就位于z平面内最外层极点的外边；也就是半径等于极点中最大模值的圆的外边。而且若][nx是因果序列（即为][nx等于0的右边序列），那么也包括z。性质9：如果][nx的变换)(zX是有理的，而且若是][nx左边序列，那么ROC就位于z平面内最里层的非零点的里边；也就是半径等于)(zX中除去0z的极点中最小模值的圆的里边，并且向圆内延伸到可能包括0z。特别是若是反因果序列(即][nx为等于0的左边序列)，ROC那么也包括0z。例6.5讨论信号[]0nxnbb，的Z变换。[][][1]nnxnbunbun(6.8)在1b时，两部分收敛域无公共部分，表明此时()Xz不存在。当01b时，ROC为1bzb。如图所示。图6.5例6.5的收敛域6.2双边Z变换的性质Z变换的许多性质与离散时间傅立叶变换的性质相似，其推论方法也相同。主要讨论其ROC的变化。1、线性若11[]()xnXz，ROC:1R；22[]()xnXz，ROC:2R则1212[][]()()axnbxnaXzbXz，包括12RR(6.9)如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则ROC可能会扩大。2、时移若[]()xnXz，ROC:R则00[]()nxnnXzz，ROC:R（6.10)但在0z和z可能会有增删。当信号时移可能会改变其因果性，故ROC在0z，z有可能改变。3、Z域尺度变换若[]()xnXz，ROC:R则0[]()nzxnXzz，ROC:0zR(6.11)因为zR时()Xz收敛，则0zzR时，0Xzz收敛。所以0zzR。当00jze时，即为移频特性。若0z是一般复数000jzre，则0Xzz的零极点不仅要将()Xz的零极点逆时针旋转一个角度0，而且在径向有0r倍的尺度变化。4、时域反转若[]()xnXz，ROC:R则1[]()xnXz，ROC:1R（收敛域边界倒置）(6.12)信号在时域反转，会引起()Xz的零极点分布按倒量对称发生改变。如果iz是()Xz的零/极点，则1iz就是1()Xz的零/极点。即：()Xz与1()Xz的零极点呈共轭倒量对称。图6.6给出了其示意图。图6.6零极点呈共轭倒量对称例如，()Xz的ROC为：1322z，则1()Xz的ROC为：223z。5、时域内插若[]()xnXz，ROC:R[][]0kxnkxnnn为k的整数倍其他则[]()kkxnXz，ROC：1kR()[][]()nrkkkknrXzxnzxrzXz（6.13）6、共轭对称若[]()xnXz，ROC:R则*[]*(*)xnXz，ROC:R（6.14）当[]xn是实信号时，*[][]xnxn于是有**()()XzXz。表明()Xz如果有复数零极点，必共轭成对出现。7、卷积性质1212[][]()()xnxnXzXz，ROC包括：12RR（6.15）如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC可能扩大。该性质是LTI系统Z变换分析法的理论基础。8、Z域微分若[]()xnXz，ROC:R则()[]dXznxnzdz，ROC:R（6.16）利用该性质可以方便地求出某些非有理函数()Xz的反变换或具有高阶极点的()Xz的反变换。例6.6求下面()Xz的反变换:，解：因为21()1dXzazdzaz111()()[1][]1ndXzazzaaunnxndzaz所以11[]()[1]()[1]nnaxnaunaunnn例6.7求下面()Xz的反变换:，解：因为11[]1naunzaaz，，所以[][]nxnnaun9、初值定理若[]00xnn，，[]()xnXz则[0]lim()zxXz（6.17）10、终值定理若[]00xnn，，[]()xnXz()Xz除了在可以有单阶极点外，其它极点均在单位圆内，则1lim[]lim(1)()nzxnzXz（6.18）下图为极点的位置与信号终值之间的关系：图6.7极点的位置与信号终值之间的关系6.3常用信号的双边Z变换表6.1几个常用的Z变换对信号变换ROC1续表6.1几个常用的Z变换对6.4双边Z反变换我们先来推导双边Z变换的反变换：因为()[]jnjnXrexnre所以21[]()2njjnxnrXreed则21[]()2jnjnxnXrered令jjzredzjredjzd、，从02时，Z沿着ROC内半径为r的圆周变化一周。所以反变换的定义为11[]()2nCxnXzzdzj（6.19）其中C是ROC中逆时针方向的圆周。求解双边Z反变换通常使用部分分式展开法和幂级数展开法。一、部分分式展开法当)(zX是有理函数时，可将其展开为部分式11)(zaAzXii（6.20）步骤：1.求出的)(zX的所有极点ia；2.将)(zX展开为部分分式；3.根据总的ROC，确定每一项的ROC；4.利用常用变换对和z变换性质求出每一项的反变换。例6.8111311411653)(zzzzX3141z将)(zX展开为部分分式有：1131114111)(zzzX31:,41:21zROCzROC所以]1[312][41][nununxnn二、幂级数展开法由)(zX的定义，将其展开为幂级数，有（6.21）展开式中nz项的系数即为][nx。当)(zX是有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。例如：13()124Xzzz，由式（6.21）可得1,02,1[]4,30,nnxnnn其它。6.4离散时间LTI系统的复频域分析6.4.1系统函数根据卷积性质)()()(zXzHzY（6.22）式中)()(),(zHzYzX和分别是系统输入、输出和单位脉冲响应z的变换。)(zH称为系统的系统函数或转移函数。只要单位圆是在)(zH的ROC内，将)(zH在单位圆上求值（即jze），)(zH就变成系统的频率响应。6.4.2系统函数与线性常系数差分方程考虑一个LTI系统，其输入、输出满足下列线性方程NkkNkkknxbknya00][][（6.23）两边取z变换，并利用线性和时移性质可得MkkkNkkkzbzXzazY00)()(于是有NkkkMkkkzazbzXzYzH00)()()(（6.24）()Hz的ROC需要通过其它条件确定，如：（1）系统的因果性或稳定性。（2）系统是否具有零初始条件等。例6.9假设关于一个LTI系统给出下列信息：1、若系统的输入是1[][]nxnun1（）6，那么输出是[]10[]nnynaun11（）（）23。其中a是实数。2、若nnx1][2,那么输出是nny147][2。求该系统的差分方程。解:由第一条信息，所给出的信号的z变换是61,6111)(11zzzX11111110101(),1111211112323aazaYzzzzzz（5＋）3于是可得：1111113112116113510)()()(zzzzaazXzYzH因为nnx