四种命题形式基础练习

例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1yxykx[]AyxyBykxxyCxyy．若≠，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠kxkxDyxy．若≠，则与不成反比例关系kx分析条件及结论同时否定，位置不变．答选D．例2设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为________．它的逆命题为________，否命题为’________，逆否命题为________．分析只要确定了“p”和“q”，则四种命题形式都好写了．解若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．例3“若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是________．分析等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则0Pp≠{x||x|＜1}”例4分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．分析根据命题的四种形式的结构确定．解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0．说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y不全为0”，这要特别小心．例5有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是ABBAB[]A．①②B．②③C．①③D．③④分析应用相应知识分别验证．解写出相应命题并判定真假①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；②“不相似三角形周长不相等”为假命题；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题；选C．例6以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．例7已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．分析如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a范围比较简单．解由－－＜－－＜＋＜得16a4(34a)0(a1)4a04a8a02222说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性．例8分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．①＞时，－＋＝无实根；mmxx10214②当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0．分析改造原命题成“若p则q形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题．在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律．解①原命题：“若＞，则－＋＝无实根”，是真mmxx10214命题；逆命题：“若－＋＝无实根，则＞”，是真命题；否命题：“若≤，则－＋＝有实根”，是真命题；逆否命题：“若－＋＝有实根，则≤”，是真命题．mxx10mmmxx10mxx10m222141414②原命题；“若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0”，是真命题；逆命题：“若a＝0或b＝0或c＝0，则abc＝0”是真命题；否命题：“若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0”，是真命题；(注意：“a＝0或b＝0或c＝0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”逆否命题：“若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0”，是真命题．说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性．例若、、均为实数，且＝－＋π，＝－＋π，＝－＋π，求证：、、中至少有一个大于．9abcax2yby2zcz2xabc0222236分析如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用反证法．解设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则有a＋b＋c≤0，而abc(x2y)(y2z)(z2x)222＋＋＝－＋π＋－＋π＋－＋π236＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)∴a＋b＋c＞0这与a＋b＋c≤0矛盾．因此a、b、c中至少有一个大于0．说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定．词语大于(＞)是都是所有的…任意一个…至少一个…否定不大于(≤)不是不都是至少一个不…某个不…一个也没有…例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1yxykx[]AyxyBykxxyCxyy．若≠，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠kxkxDyxy．若≠，则与不成反比例关系kx分析条件及结论同时否定，位置不变．答选D．例2设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________．分析只要确定了“p”和“q”，则四种命题形式都好写了．解若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．例3“若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是________．分析等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则0Pp≠{x||x|＜1}”例4分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．分析根据命题的四种形式的结构确定．解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0．说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y不全为0”，这要特别小心．例5有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是ABBAB[]A．①②B．②③C．①③D．③④分析应用相应知识分别验证．解写出相应命题并判定真假①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；②“不相似三角形周长不相等”为假命题；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题；选C．例6以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．例7已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．分析如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a范围比较简单．解由－－＜－－＜＋＜得16a4(34a)0(a1)4a04a8a02222说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性．例8分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．①＞时，－＋＝无实根；mmxx10214②当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0．分析改造原命题成“若p则q形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题．在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律．解①原命题：“若＞，则－＋＝无实根”，是真mmxx10214命题；逆命题：“若－＋＝无实根，则＞”，是真命题；否命题：“若≤，则－＋＝有实根”，是真命题；逆否命题：“若－＋＝有实根，则≤”，是真命题．mxx10mmmxx10mxx10m222141414②原命题；“若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0”，是真命题；逆命题：“若a＝0或b＝0或c＝0，则abc＝0”是真命题；否命题：“若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0”，是真命题；(注意：“a＝0或b＝0或c＝0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”逆否命题：“若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0”，是真命题．说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性．例若、、均为实数，且＝－＋π，＝－＋π，＝－＋π，求证：、、中至少有一个大于．9abcax2yby2zcz2xabc0222236分析如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用反证法．解设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则有a＋b＋c≤0，而abc(x2y)(y2z)(z2x)222＋＋＝－＋π＋－＋π＋－＋π236＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)∴a＋b＋c＞0这与a＋b＋c≤0矛盾．因此a、b、c中至少有一个大于0．说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定．词语大于(＞)是都是所有的…任意一个…至少一个…否定不大于(≤)不是不都是至少一个不…某个不…一个也没有…四种命题·基础练习(一)选择题1．命题“a、b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是[]A．a、b都不是奇数，则a＋b是偶数B．a＋b是偶数，则a、b都是奇数C．a＋b不是偶数，则a、b都不是奇数D．a＋b不是偶数，则a、b不都是奇数2．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为[]A．4个B．3个C．2个D．0个3．对以下四个命题判断正确的是[](1)原命题：若一个自然数的末位数字为零，则这个自然数被5整除．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这自然数末