2015步步高大一轮复习讲义§1.2-命题及其关系、充分条件与必要条件

1§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2014高考会这样考1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件．复习备考要这样做1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．[难点正本疑点清源]1．等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．2．集合与充要条件2设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．1．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．答案②③解析①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题．2．“x2”是“1x12”的________条件．答案充分不必要解析①x2⇒2x0⇒x2x22x⇒1x12，∴“x2”是“1x12”的充分条件．②1x12⇒x0或x2D⇒/x2.∴“x2”是“1x12”的不必要条件．3．已知a，b∈R，则“a＝b”是“a＋b2＝ab”的____________条件．答案必要不充分解析因为若a＝b0，则a＋b2≠ab，所以充分性不成立；反之，因为a＋b2＝ab⇔a＝b⇔a＝b≥0，所以必要性成立，故“a＝b”是“a＋b2＝ab”的必要不充分条件．4．(2011·天津)设集合A＝{x∈R|x－20}，B＝{x∈R|x0}，C＝{x∈R|x(x－2)0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()3A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为A＝{x|x－20}＝{x|x2}＝(2，＋∞)，B＝{x|x0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C＝{x|x(x－2)0}＝{x|x0或x2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由条件推结论和结论推条件后再判断．若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一四种命题的关系及真假例1已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．答案D解析命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．4探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.题型二充要条件的判断例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是()A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点B．p：f－xfx＝1；q：y＝f(x)是偶函数C．p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβD．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．答案D解析对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)0，从而可得m－2或m6.所以p是q的必要不充分条件；对于B，由f－xfx＝1⇒f(－x)＝f(x)⇒y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出f－xfx＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；对于C，当cosα＝cosβ＝0时，不存在tanα＝tanβ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁UB⊆∁UA；反之，由∁UB⊆∁UA，知A⊆B，即A∩B＝A.所以p⇔q.综上所述，p是q的充分必要条件的是D.探究提高判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合5思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．给出下列命题：①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________．答案①④解析对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；对于④，由题意得ba＝sinBsinA＝3，若B＝60°，则sinA＝12，注意到ba，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sinB＝32，由于ba，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.题型三利用充要条件求参数例3已知集合M＝{x|x－3或x5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5x≤8}的一个充分但不必要条件．思维启迪：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．解(1)由M∩P＝{x|5x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5x≤8}的充要条件是{a|－3≤a≤5}．(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5x≤8}；反之，M∩P＝{x|5x≤8}未必有a＝0，故“a＝0”是“M∩P＝{x|5x≤8}”的一个充分但不必要条件．探究提高利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．已知p：x2－4x－5≤0，q：|x－3|a(a0)．若p是q的充分不必要条件，求6a的取值范围．解设A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋3xa＋3}，因为p是q的充分不必要条件，从而有AB.故－a＋3－1，a＋35，解得a4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例：(12分)已知p：1－x－13≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．审题视角(1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论．规范解答解方法一由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，[2分]∴綈q：A＝{x|x1＋m或x1－m，m0}，[3分]由p：1－x－13≤2，解得－2≤x≤10，[5分]∴綈p：B＝{x|x10或x－2}．[6分]∵綈p是綈q的必要而不充分条件．∴AB，∴m0，1－m－2，1＋m≥10，或m0，1－m≤－2，1＋m10，即m≥9或m9.∴m≥9.[12分]方法二∵綈p是綈q的必要而不充分条件，∴p是q的充分而不必要条件，[2分]由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，[4分]由p：1－x－13≤2，解得－2≤x≤10，∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．[6分]∵p是q的充分而不必要条件，7∴PQ，∴m0，1－m－2，1＋m≥10，或m0，1－m≤－2，1＋m10，即m≥9或m9.∴m≥9.[12分]温馨提醒本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若