苏教版九年级下册数学[比例线段及黄金分割(提高)-知识点整理及重点题型梳理]

精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习相似形和比例线段（提高）知识讲解学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【394495图形的相似预备知识】1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：如果acbd，那么adbc.（2）合比性质：如果++==.acabcdbdbd，那么如果--==.acabcdbdbd，那么要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点二、黄金分割1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACBCABAC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.要点诠释：512ACAB≈0.618AB(512叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点：精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段1.（2016春•上海校级月考）已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【思路点拨】（1）令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可．【答案与解析】解：（1）∵==，∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，∴===﹣1；（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3(舍去)，∴x=﹣2．【总结升华】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x=2k，y=3k，z=4k是解答此题的关键．举一反三：【394495图形的相似预备知识练习2】【变式】（2015春•扶沟县期中）若=，则=（）.精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用A.B.C.D.无法确定【答案】C.2.已知：abckbcacab．求k值．【思路点拨】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解.【答案与解析】①当a+b+c=0时，b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，∴k为其中任何一个比值，即k=aa=-1;②a+b+c≠0时，k=12()2abcabcbccaababc．∴k=-1或12.【总结升华】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点．类型二、黄金分割3.宽与长之比为5-1:12的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.【答案与解析】∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF,又∵512ABAD,∴512AFAD，即点F是AD的黄金分割点，∴512AFAD,即352DFAD∴512DFAF，即512DFDC，∴矩形CDEF是黄金矩形.【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可.精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用4.（2014春•南京校级月考）（1）已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，求AC长；（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．【思路点拨】（1）根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，可得AC=10×，计算即可；（2）根据线段比例中项的概念，可得a：c=c：b，可得c2=ab=36，故c的值可求．注意线段不能为负．．【答案与解析】解：（1）∵线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，∴AC=10×=15﹣5（cm）；（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，∴c2=ab=36，解得c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm．【总结升华】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．也考查了比例中项的概念．．举一反三：【变式】（2014秋•章丘市校级期末）已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A.B.C.或D.以上都不对【答案】C.提示：∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC，∴AC=AB=；当AC＜BC，∴BC=AB=，∴AC=AB﹣BC=1﹣=．